Abitur NRW Physik 2023 · LK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg

Teilaufgabe 3: $h$-Bestimmung mit einer Röntgenröhre

Röntgenstrahlung wird mithilfe einer Röntgenröhre erzeugt. Abbildung 2 stellt deren schematischen Aufbau dar.

In Abbildung 3 ist schematisch der Versuchsaufbau zu sehen, mit dem die Röntgenstrahlung durch das Drehkristallverfahren nach Bragg genauer untersucht wird.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Zwei Wege zur Bestimmung des Planck’schen Wirkungsquantums

Das Planck’sche Wirkungsquantum $h$ zählt zu den bedeutenden Konstanten der Physik. Nachfolgend werden zwei Verfahren betrachtet, mit denen $h$ ermittelt werden kann.

Teilaufgabe 1: Wellen- und Teilcheneigenschaften von Licht

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts galt Licht nach zahlreichen experimentellen Bestätigungen allgemein als elektromagnetische Welle. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts erforderten neue experimentelle Befunde, die physikalische Beschreibung von Licht weiterzuentwickeln.

a)

• Beschreiben Sie knapp einen Versuch, mit dem sich zeigen lässt, dass Licht Welleneigenschaften besitzt.

• Geben Sie eine Beobachtung aus Ihrem Versuch an, die sich mithilfe der Welleneigenschaft von Licht erklären lässt.

b)

• Beschreiben Sie knapp einen Versuch, mit dem sich zeigen lässt, dass Licht Teilcheneigenschaften besitzt.

• Geben Sie eine Beobachtung aus Ihrem Versuch an, die sich mithilfe der Teilcheneigenschaft von Licht erklären lässt.

[4 + 4 Punkte]

Teilaufgabe 3: $h$-Bestimmung mit einer Röntgenröhre

Röntgenstrahlung wird mithilfe einer Röntgenröhre erzeugt. Abbildung 2 stellt deren schematischen Aufbau dar.

In Abbildung 3 ist schematisch der Versuchsaufbau zu sehen, mit dem die Röntgenstrahlung durch das Drehkristallverfahren nach Bragg genauer untersucht wird.

Teilaufgabe 2: h -Bestimmung mit dem Fotoeffekt

Eine Möglichkeit, das Planck’sche Wirkungsquantum $h$ zu bestimmen, ist die Gegenfeldmethode des Fotoeffekts. Abbildung 1 zeigt den schematischen Aufbau des Versuchs. In diesem Versuch bestehen die Ringanode und die Fotokathode aus demselben Material.

a)

Beschreiben Sie, wie der Versuch zur Gegenfeldmethode des Fotoeffekts aufgebaut ist.

b)

• Erklären Sie, wie der Fotostrom $I_{\text{F}}$ zustande kommt und weshalb er sinkt, wenn die Spannung $U_{\text{G}}$ erhöht wird.

Bei der Spannung $U_{\text{G,max}}$ ist der Fotostrom $I_{\text{F}}$ gerade auf null zurückgegangen.

• Erläutern Sie, weshalb sich die kinetische Energie $E_{\text{kin}}$ der schnellsten Elektronen, die aus der Fotokathode austreten, durch $E_{\text{kin}} = e \cdot U_{\text{G,max}}$ berechnen lässt. Dabei ist $e$ die Elementarladung.

Bei der Durchführung des Versuchs aus Abbildung 1 werden folgende Werte aufgenommen:

$\lambda$ in $\text{nm}$

578

546

436

405

366

$f$ in $10^{14}\text{ Hz}$

5,49

6,88

7,41

8,20

$U_{\text{G,max}}$ in $\text{V}$

0,99

1,13

1,72

1,90

2,26

c)

• Zeigen Sie durch eine graphische Auswertung aller Messwerte, dass es zwischen der Frequenz $f$ des eingestrahlten Lichts und der kinetischen Energie $E_{\text{kin}}$ der schnellsten aus der Fotokathode ausgelösten Elektronen einen linearen Zusammenhang gibt.

• Erläutern Sie den Zusammenhang $e \cdot U_{\text{G,max}} = h \cdot f - W_{\text{A}}$ zwischen der Spannung $U_{\text{G,max}}$ und der Frequenz $f$ des eingestrahlten Lichts.

• Begründen Sie (mit der obigen Gleichung), dass eine Intensitätsveränderung des eingestrahlten Lichts keine Änderung der Messwerte aus Tabelle 1 bewirken würde.

Teilaufgabe 3: $h$-Bestimmung mit einer Röntgenröhre

Röntgenstrahlung wird mithilfe einer Röntgenröhre erzeugt. Abbildung 2 stellt deren schematischen Aufbau dar.

In Abbildung 3 ist schematisch der Versuchsaufbau zu sehen, mit dem die Röntgenstrahlung durch das Drehkristallverfahren nach Bragg genauer untersucht wird.

b)

Erläutern Sie unter Verwendung von Abbildung 3, wie beim Drehkristallverfahren nach Bragg zur Untersuchung von Röntgenstrahlung konstruktive Interferenz zustande kommt.

c)

Leiten Sie anhand der Zeichnung in Abbildung 4 die Bragg-Gleichung $2 \cdot d \cdot \sin\vartheta = n \cdot \lambda$ her.

Dabei steht $d$ für den Netzebenenabstand, $n$ für die Ordnung des Maximums, $\lambda$ für die Wellenlänge der Röntgenstrahlung und $\vartheta$ für den Glanzwinkel, bei dem konstruktive Interferenz auftritt.

Teilaufgabe 3: $h$-Bestimmung mit einer Röntgenröhre

Röntgenstrahlung wird mithilfe einer Röntgenröhre erzeugt. Abbildung 2 stellt deren schematischen Aufbau dar.

In Abbildung 3 ist schematisch der Versuchsaufbau zu sehen, mit dem die Röntgenstrahlung durch das Drehkristallverfahren nach Bragg genauer untersucht wird.

a)

Erläutern Sie, welche Wechselwirkungsprozesse in der Anode der Röntgenröhre ablaufen und zur Aussendung von Röntgenbremsstrahlung sowie charakteristischer Röntgenstrahlung führen.

Abbildung 5 zeigt kontinuierliche Bremsstrahlungsspektren einer Wolfram-Anode bei unterschiedlichen Beschleunigungsspannungen $U_\mathrm{a}$.

d)

Erläutern Sie, wie es zur kurzwelligen Grenze $\lambda_\mathrm{min}$ der Röntgenbremsstrahlung kommt.

e)

• Bestimmen Sie aus Abbildung 5 für die einzelnen Beschleunigungsspannungen $U_\mathrm{a}$ jeweils die kurzwellige Grenze $\lambda_\mathrm{min}$ der Röntgenbremsstrahlung.

Notieren Sie die abgelesenen Werte für $\lambda_\mathrm{min}$ in der Tabelle (in $10^{-11}\,\mathrm{m}$ bzw. $10^{-2}\,\mathrm{nm}$):

$U_\mathrm{a}$ in $\mathrm{kV}$ · 20 · 25 · 30 · 35 · 40 · 50

$\lambda_\mathrm{min}$ in $10^{-11}\,\mathrm{m}$

• Zeigen Sie anhand der aus Abbildung 5 abgelesenen Werte für $\lambda_\mathrm{min}$, dass die maximale Energie $E_\mathrm{R}$ der Röntgenstrahlung proportional zum Kehrwert der kurzwelligen Grenze $\lambda_\mathrm{min}$ der Röntgenbremsstrahlung ist: $E_\mathrm{R} \sim \frac{1}{\lambda_\mathrm{min}}$.

• Bestimmen Sie unter Verwendung Ihrer Messwerte aus Abbildung 5 einen Wert für das Planck’sche Wirkungsquantum $h$.

Manche der freien Elektronen verlassen das abzubildende Objekt in Aufwärtsrichtung und werden von einem Detektor nachgewiesen. In Abbildung 3 ist ein solcher Aufbau schematisch dargestellt, der einen Wien-Filter enthält.

Vereinfachend soll nachfolgend ein Elektronenstrahl betrachtet werden, der von oben kommt und längs der Mittelachse in den Wien-Filter gelangt, ehe er das abzubildende Objekt erreicht. Zwischen den Kondensatorplatten herrscht ein homogenes Magnetfeld, dessen Richtung sowohl zum homogenen elektrischen Feld des Plattenkondensators als auch zur Bewegungsrichtung des Elektronenstrahls senkrecht steht. Der Detektor ist hinter der rechten, durchlöcherten Kondensatorplatte angeordnet.

Teilaufgabe 1: Erzeugung und Führung des Elektronenstrahls im REM

In Abbildung 2 sind der schematische Aufbau eines REM und ein Koordinatensystem dargestellt.

Zur elektronenmikroskopischen Abbildung eines Objekts beschleunigt eine Elektronenkanone die Elektronen, und der entstehende Elektronenstrahl wird durch einen Ablenkkondensator über das Objekt geführt.

a)

• Erläutern Sie, wie eine Elektronenkanone funktioniert.

Die Spannung $U_\text{B}$ muss zwingend eine Gleichspannung sein, wohingegen $U_\text{H}$ sowohl Gleich- als auch Wechselspannung sein darf.

• Erklären Sie diesen Unterschied.

b)

Mit einem klassischen Ansatz ergibt sich für die Geschwindigkeit $v$, mit der die Elektronen die Elektronenkanone verlassen:

$$v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_\text{B}}{m_0}}$$

Hierbei ist $m_0$ die Ruhemasse des Elektrons und $e$ die Elementarladung.

• Leiten Sie diese Beziehung her.

Die Beschleunigungsspannung $U_\text{B}$ der Elektronenkanone eines REM lässt sich zwischen $0{,}10\text{ kV}$ und $30\text{ kV}$ einstellen. Liefert der obige Zusammenhang für eine gewählte Spannung $U_\text{B}$ eine Geschwindigkeit $v \le 0{,}10 \cdot c$, darf man das Verhalten der Elektronen ohne relativistische Korrekturen beschreiben.

• Bestimmen Sie den größten Wert $U_{\text{B},\text{max}}$ der Beschleunigungsspannung, für den die Elektronen noch ohne relativistische Korrekturen beschrieben werden können.

Vom Verlassen der Elektronenkanone bis zum Auftreffen auf das Objekt durchlaufen die Elektronen im homogenen Gravitationsfeld der Erde eine vertikale Strecke $h = 50\text{ cm}$. Ein Elektron gewinnt dabei die kinetische Energie $\Delta E_\text{kin} = m_0 \cdot g \cdot h$; $g = 9{,}81\text{ m/s}^2$ ist der Ortsfaktor am Standort des REM.

• Zeigen Sie, dass sich dieser Energiezuwachs im Betrieb des REM vernachlässigen lässt.

c)

Am Ablenkkondensator in Abbildung 2 ist die Spannung $U_\text{A}$ angelegt.

• Geben Sie an, wie die Spannung $U_\text{A}$ gepolt sein muss, damit die dargestellte Bahnkurve der Elektronen entsteht.

Der Ablenkkondensator ist ein Plattenkondensator mit Plattenabstand $d$, dessen elektrisches Feld näherungsweise als homogen gelten darf. Für die konstante Beschleunigung in $x$-Richtung, die Elektronen im Kondensator klassisch erfahren, gilt dann:

$$a = \frac{e \cdot U_\text{A}}{m_0 \cdot d}$$

• Leiten Sie diese Gleichung für die Beschleunigung in $x$-Richtung her.

Der Auftreffpunkt des Elektronenstrahls soll auf dem Objekt aus Abbildung 2 in einer vorgegebenen Zeitspanne vom linken zum rechten Objektende wandern.

• Erklären Sie, weshalb sich das mit einer passend gewählten zeitabhängigen Ablenkspannung $U_\text{A}(t)$ verwirklichen lässt.

Manche der freien Elektronen verlassen das abzubildende Objekt in Aufwärtsrichtung und werden von einem Detektor nachgewiesen. In Abbildung 3 ist ein solcher Aufbau schematisch dargestellt, der einen Wien-Filter enthält.

Vereinfachend soll nachfolgend ein Elektronenstrahl betrachtet werden, der von oben kommt und längs der Mittelachse in den Wien-Filter gelangt, ehe er das abzubildende Objekt erreicht. Zwischen den Kondensatorplatten herrscht ein homogenes Magnetfeld, dessen Richtung sowohl zum homogenen elektrischen Feld des Plattenkondensators als auch zur Bewegungsrichtung des Elektronenstrahls senkrecht steht. Der Detektor ist hinter der rechten, durchlöcherten Kondensatorplatte angeordnet.

Teilaufgabe 2: Detektion der Elektronen

a)

Beschreiben Sie, wie freie Elektronen entstehen, wenn schnelle Elektronen mit Atomen wechselwirken.

Begründen Sie mithilfe einer Energiebetrachtung, dass die Elektronen für diese Form der Wechselwirkung mit Atomen eine hohe Geschwindigkeit haben müssen.

b)

Geben Sie die Bedingung dafür an, dass ein Elektron, das von oben in den Wien-Filter eintritt, die Anordnung ohne Ablenkung geradlinig durchquert.

Zeigen Sie, dass das Elektron in Abhängigkeit von der Stärke $E$ des elektrischen Feldes und der Stärke $B$ des magnetischen Feldes die Geschwindigkeit $v = \frac{E}{B}$ besitzen muss, damit es geradlinig durch die Anordnung gelangt.

Erläutern Sie unter Einbeziehung der im Wien-Filter wirkenden Kräfte, warum die Spannung $U_S$ angepasst werden muss, wenn die Beschleunigungsspannung $U_B$ verändert wird.

c)

Begründen Sie, dass Elektronen, die das abzubildende Objekt verlassen, immer zum Detektor hin abgelenkt werden.

Manche der freien Elektronen verlassen das abzubildende Objekt in Aufwärtsrichtung und werden von einem Detektor nachgewiesen. In Abbildung 3 ist ein solcher Aufbau schematisch dargestellt, der einen Wien-Filter enthält.

Vereinfachend soll nachfolgend ein Elektronenstrahl betrachtet werden, der von oben kommt und längs der Mittelachse in den Wien-Filter gelangt, ehe er das abzubildende Objekt erreicht. Zwischen den Kondensatorplatten herrscht ein homogenes Magnetfeld, dessen Richtung sowohl zum homogenen elektrischen Feld des Plattenkondensators als auch zur Bewegungsrichtung des Elektronenstrahls senkrecht steht. Der Detektor ist hinter der rechten, durchlöcherten Kondensatorplatte angeordnet.

d) Nach der De-Broglie-Hypothese lässt sich den Elektronen, die das abzubildende Objekt treffen, eine Wellenlänge $\lambda$ zuweisen.

•

Erläutern Sie, wie die De-Broglie-Hypothese eine Analogie zwischen Licht und Materie herstellt.

Die De-Broglie-Wellenlänge ergibt sich aus $\lambda = \frac{h}{p}$, wobei $h$ das Planck'sche Wirkungsquantum und $p$ der Impuls der Elektronen ist.

Zunächst formulierte De Broglie diese Beziehung für Photonen.

•

Begründen Sie den Zusammenhang $\lambda = \frac{h}{p}$ für Photonen, indem Sie von der Gleichung $E = h \cdot f$ für die Energie von Photonen der Frequenz $f$ ausgehen.

Bei einer bestimmten REM-Aufnahme arbeitet die Elektronenkanone mit der Beschleunigungsspannung $U_{\mathrm{B}} = 2{,}30\text{ kV}$.

•

Bestimmen Sie die den Elektronen zuzuordnende De-Broglie-Wellenlänge $\lambda$ mithilfe eines klassischen Ansatzes.

In einem Versuch treffen Elektronen, die mit $U_{\mathrm{B}} = 2{,}30\text{ kV}$ beschleunigt wurden, auf ein Objekt aus einem regelmäßigen Atomgitter mit dem Gitterabstand $d = 10^{-10}\text{ m}$.

•

Erklären Sie, weshalb es bei der Streuung der Elektronen an den Gitteratomen zu Interferenzerscheinungen kommen kann.

Manche der freien Elektronen verlassen das abzubildende Objekt in Aufwärtsrichtung und werden von einem Detektor nachgewiesen. In Abbildung 3 ist ein solcher Aufbau schematisch dargestellt, der einen Wien-Filter enthält.

Vereinfachend soll nachfolgend ein Elektronenstrahl betrachtet werden, der von oben kommt und längs der Mittelachse in den Wien-Filter gelangt, ehe er das abzubildende Objekt erreicht. Zwischen den Kondensatorplatten herrscht ein homogenes Magnetfeld, dessen Richtung sowohl zum homogenen elektrischen Feld des Plattenkondensators als auch zur Bewegungsrichtung des Elektronenstrahls senkrecht steht. Der Detektor ist hinter der rechten, durchlöcherten Kondensatorplatte angeordnet.

Teilaufgabe 3: Fokussierung des Elektronenstrahls

Damit ein REM ein Bild mit möglichst hoher Auflösung liefert, muss der Elektronenstrahl vor dem Auftreffen auf die zu untersuchende Probe fokussiert werden. Dafür können zum Beispiel sogenannte Quadrupolmagnete eingesetzt werden. Sie bestehen aus zwei Paaren magnetischer Nord- und Südpole, die sich jeweils gegenüberliegen. In Abbildung 4 sind der schematische Aufbau eines solchen Quadrupolmagneten und der Querschnitt des Elektronenstrahls zu sehen, der aus der Zeichenebene austritt.

a)

Abbildung 4 enthält ein unvollständiges Feldlinienbild des Magnetfeldes, das der Quadrupolmagnet erzeugt. Je dichter die Feldlinien liegen, desto größer ist die Stärke $B$ des Magnetfeldes.

b)

In Abbildung 4 ist der Strahlquerschnitt grau markiert. Vor dem Eintritt in das Magnetfeld fliegen die Elektronen parallel zur $y$-Achse, die in Abbildung 4 aus der Zeichenebene herauszeigt. Die vier Punkte $Q$, $R$, $S$ und $T$ liegen am Rand des Elektronenstrahls.

c)

Nachdem der Elektronenstrahl den Quadrupolmagneten verlassen hat, durchläuft er einen zweiten Quadrupolmagneten. Dieser ist im Vergleich zu dem in Abbildung 4 gezeigten um $90^\circ$ um die $y$-Achse verdreht.

Aufgabenstellung: Neutrinomassenbestimmung

Die experimentelle Untersuchung von Neutrinos stellt ein schwieriges Unterfangen dar. Es gilt heute als sicher, dass Neutrinos eine endliche Masse $m_\nu > 0$ besitzen, jedoch ist diese Masse $m_\nu$ so klein, dass bisher kein Wert für sie experimentell ermittelt werden konnte. Gleichzeitig ist der Wert der Neutrinomasse wichtig für weitergehende Erkenntnisse der Kosmologie. Das „Karlsruher Tritium Neutrino“ (KATRIN)-Experiment ist seit einigen Jahren eines der weltweit größten Experimente zur Bestimmung der Neutrinomasse $m_\nu$.

Das KATRIN-Experiment soll noch etliche Jahre betrieben werden, wobei seine Genauigkeit laufend gesteigert wird.

Teilaufgabe 1: Neutrinos im Standardmodell der Elementarteilchen

Die heutige Systematik des Standardmodells der Elementarteilchen teilt diese in Quarks und Leptonen ein. Während die Quarks der starken, der schwachen und der elektromagnetischen Wechselwirkung unterliegen, nehmen die Leptonen nicht an der starken Wechselwirkung teil. Abbildung 1 zeigt einen Überblick über die Elementarteilchen des Standardmodells.

a)

Die drei Neutrinosorten zählen zu den Leptonen.

b)

Jegliche aus Atomen bestehende Materie setzt sich nur aus drei der in Abbildung 1 gezeigten elektrisch geladenen Elementarteilchen zusammen.

Zu den einfachsten Atomen gehört das des Wasserstoffisotops $^2\mathrm{H}$ (Deuterium).

c)

Neutrinos und Antineutrinos kommen ausschließlich in Prozessen vor, an denen die schwache Wechselwirkung beteiligt ist. Ein typisches Beispiel ist der $\beta^-$-Zerfall, bei dem sich ein Neutron in ein Proton umwandelt. Abbildung 2 zeigt diese Umwandlung auf der Ebene der Quarks.

Teilaufgabe 2: Die Zerfallseigenschaften des Tritiums und das Energiespektrum seiner $\beta^-$-Strahlung

a)

Das Wasserstoffisotop $^3\mathrm{H}$ (Tritium) ist ein $\beta^-$-Strahler mit der Zerfallsgleichung:

$$^3\mathrm{H} \rightarrow {^3\mathrm{He}} + e^- + \bar{\nu}_e$$

Die Abnahme der Anzahl $N$ der Tritiumkerne in einer Probe als Funktion der Zeit wird durch das Zerfallsgesetz $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$ beschrieben. Dabei bezeichnet $N_0$ die Anfangszahl der Tritiumkerne und $\lambda$ die Zerfallskonstante des Tritiums.

Die Aktivität $A$ der Probe ergibt sich aus der Ableitung von $N$ nach der Zeit, also der Änderungsrate der Tritiumkerne $A = -\dot{N}$. Für die Aktivität $A$ gilt das Abnahmegesetz $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$.

• Zeigen Sie, dass die Anfangsaktivität $A_0$ der Probe durch folgende Beziehung gegeben ist: $A_0 = \lambda \cdot N_0$.

• Zeigen Sie, dass zwischen der Halbwertszeit $T_{1/2}$ eines radioaktiven Nuklids und seiner Zerfallskonstante $\lambda$ folgender Zusammenhang besteht: $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.

Beim radioaktiven Zerfall des Tritiums handelt es sich um einen einstufigen Zerfall, d. h., der Tochterkern ist stabil. Es kann demnach davon ausgegangen werden, dass die Aktivität einer Tritiumprobe ausschließlich aus dem Zerfall des Tritiums stammt. Die Aktivität einer konkreten Tritiumprobe wird zum Zeitpunkt $t = 0$ bestimmt und dann nach $t = 548\text{ d}$ erneut. Es zeigt sich, dass sich die Aktivität $A$ der Probe um $8{,}1\,\%$ gegenüber der ersten Messung reduziert hat.

• Bestimmen Sie mithilfe dieser Messung die Halbwertszeit $T_{1/2}$ von Tritium in Jahren.

b)

Da der $\beta^-$-Zerfall des Tritiums direkt in den Grundzustand des Tochternuklids $^3\mathrm{He}$ erfolgt, tritt bei diesem Prozess keine $\gamma$-Strahlung auf. Somit verteilt sich bei diesem $\beta^-$-Zerfall die gesamte frei werdende Energie $E_{\text{ges}}$ auf die entstehenden Teilchen. Für die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ des $\beta^-$-Zerfalls gilt dabei der folgende Zusammenhang:

$$E_{\text{ges}} = [m_{^3\mathrm{H}} - (m_{^3\mathrm{He}} + m_e + m_\nu)] \cdot c^2$$

Erläutern Sie die angegebene Beziehung zwischen den Massen und der beim $\beta^-$-Zerfall frei werdenden Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$.

c)

Ein gemessenes Energiespektrum der beim $\beta^-$-Zerfall des Tritiums entstehenden Elektronen ist in Abbildung 3 dargestellt.

• Beschreiben Sie, wie das Energiespektrum der Elektronen in Abbildung 3 verläuft.

Die Gesamtenergie des Zerfalls beträgt immer $E_{\text{ges}} \approx 18{,}6\text{ keV}$. Aufgrund des großen Massenunterschieds zwischen Elektron und Tochterkern kann der $^3\mathrm{He}$-Kern aus dem $\beta^-$-Zerfall aufgrund der Impulserhaltung maximal $0{,}04\,\%$ der kinetischen Energie des Elektrons $E_e$ erhalten.

• Begründen Sie, dass das ansonsten nicht nachweisbare Antineutrino $\bar{\nu}_e$ erforderlich ist, um das Spektrum in Abbildung 3 zu erklären.

Teilaufgabe 3: Das KATRIN-Experiment und die Masse des Neutrinos

Für das Elektron-Antineutrino $\bar{\nu}_\mathrm{e}$ könnte die experimentelle Massenbestimmung im KATRIN-Experiment möglich sein. Da ein Teilchen immer exakt die gleiche Masse besitzt wie sein Antiteilchen, ist es egal, ob man die Masse eines Neutrinos $m_\nu$ oder die Masse seines Antineutrinos $m_{\bar{\nu}}$ bestimmt. Aus diesen Gründen wird im Weiteren zur Vereinfachung die Bezeichnung „Neutrino“ für „Elektron-Neutrino“ und durchgängig der Begriff „Neutrinomasse $m_\nu$“ verwendet, obwohl in dem Experiment Antineutrinos untersucht werden.

Die Masse der Neutrinos ist so klein, dass aus bisherigen Experimenten lediglich eine Aussage über deren Maximalwert gewonnen werden konnte. Aus Messungen vor dem KATRIN-Experiment ergab sich für die Ruheenergie des Neutrinos: $m_\nu\,c^2 < 2{,}1\text{ eV}$.

a)

Berechnen Sie den bisher geltenden Höchstwert der Neutrinomasse $m_\nu$ in der Einheit „kg“.

b)

Das Ziel des KATRIN-Experiments ist es, das hochenergetische Ende des Energiespektrums beim $\beta^-$-Zerfall des Tritiums sehr genau zu messen. Die Masse des zerfallenden Tritiumkerns $m_{^3\mathrm{H}}$, die Masse des $^3\mathrm{He}$-Kerns $m_{^3\mathrm{He}}$ sowie die Masse des Elektrons $m_\mathrm{e}$ sind sehr genau bekannt. Für die Annahme, dass das Antineutrino $\bar{\nu}_\mathrm{e}$ masselos ist $m_\nu = 0$, kann damit die Gesamtenergie des $\beta^-$-Zerfalls des Tritiums sehr genau bestimmt werden und sie ergibt sich zu $E_{\mathrm{ges},\,m_\nu=0} = 18589{,}9\text{ eV}$.

Abbildung 4 zeigt die Verläufe des Elektronen-Energiespektrums des $\beta^-$-Zerfalls im Bereich der Gesamtenergie $E_{\mathrm{ges},\,m_\nu=0}$ für die Annahme eines masselosen Antineutrinos $m_\nu = 0$ sowie für den Fall $m_\nu > 0$. Bei einer Neutrinomasse $m_\nu > 0$ gilt für die maximal mögliche Energie $E_\mathrm{max}$ der Elektronen aus dem $\beta^-$-Zerfall $E_\mathrm{max} < E_{\mathrm{ges},\,m_\nu=0}$.

• Begründen Sie, weshalb sich in Abbildung 4 die maximale Elektronenenergie $E_\mathrm{max}$ beim $\beta^-$-Zerfall von $E_{\mathrm{ges},\,m_\nu=0}$ unterscheidet.

Im Idealfall soll mit dem KATRIN-Experiment die maximale Energie $E_\mathrm{max}$ der dabei entstehenden Elektronen bestimmt werden.

• Geben Sie an, in welchem Energiebereich der Wert der maximalen Energie $E_\mathrm{max}$ der Elektronen beim $\beta^-$-Zerfall des Tritiums liegen muss.

eV

eV

c)

Abbildung 5 zeigt vereinfacht die Komponenten des KATRIN-Experiments.

Die Elektronen des $\beta^-$-Zerfalls werden in der Tritiumquelle freigesetzt und durch ein starkes Magnetfeld zunächst in das Vor- und dann in das Haupt-Spektrometer geführt. Da es beim KATRIN-Experiment nur um die Elektronen mit Energien nahe der maximalen Energie $E_\mathrm{max}$ geht, passieren das Vor-Spektrometer nur Elektronen mit einer Energie $E_\mathrm{e} > 18500\text{ eV}$ und treten dann ins Haupt-Spektrometer ein.

Aus messtechnischen Gründen werden die Elektronen im Innern des Haupt-Spektrometers zudem durch ein stark inhomogenes Magnetfeld zum Elektronendetektor geführt.

• Begründen Sie qualitativ, weshalb statische Magnetfelder die kinetische Energie der Elektronen grundsätzlich nicht verändern.

Die energetische Untersuchung der Elektronen in den beiden Spektrometern basiert auf der Gegenfeldmethode. Im Haupt-Spektrometer werden Elektronen durch eine hochstabilisierte und sehr genau einstellbare Gegenspannung $U_\mathrm{G}$ weiter abgebremst und nur nach Überwinden dieser Gegenspannung im Elektronendetektor nachgewiesen. Die Gegenspannung im Haupt-Spektrometer kann zum jetzigen Zeitpunkt in Schritten von $\Delta U_\mathrm{G} = 0{,}5\text{ V}$ stabilisiert eingestellt werden und soll in den nächsten Jahren durch weitere Verbesserungen am Experiment in Schritten von $\Delta U_\mathrm{G} = 0{,}2\text{ V}$ variierbar sein.

• Erläutern Sie, weshalb die verbesserte Einstellgenauigkeit der Gegenspannung $U_\mathrm{G}$ bei der Gegenfeldmethode genauere Messergebnisse liefert.

d)

Bereits heute grenzen die ersten vorläufigen Ergebnisse des KATRIN-Experiments die Ruheenergie des Elektron-Neutrinos auf $m_\nu\,c^2 < 1{,}0\text{ eV}$ ein.

Beurteilen Sie, welchen Fortschritt an Erkenntnis dies im Vergleich zum Wissensstand vor dem KATRIN-Experiment darstellt.

Teilaufgabe 4: Die Bedeutung der Neutrinomasse für die Kosmologie

Nach dem aktuellen Stand der Kosmologie hat das kugelförmige Universum einen Radius von wenigstens $r_{\text{U}} \approx 45 \cdot 10^9\text{ Lichtjahren}$ und enthält ungefähr die Masse $m_{\text{U}} \approx 10^{53}\text{ kg}$ an „sichtbarer“ Materie, d. h. an Materie, die aus Teilchen des heute bekannten Standardmodells aufgebaut ist.

Nach astrophysikalischen Abschätzungen sind im Mittel etwa $330\text{ Neutrinos}$ in jedem Kubikzentimeter ($\text{cm}^3$) des Universums vorhanden.

Weitere Optimierungen am KATRIN-Experiment werden zukünftig zu einer höheren Messgenauigkeit führen. Es besteht die Aussicht, dass es dann auch einen Messwert für die Neutrinomasse $m_{\nu}$ geben wird. Eine Neutrino-Ruheenergie von $m_{\nu} c^2 \approx 0{,}3\text{ eV}$ wäre mit einem weiter verbesserten KATRIN-Experiment durchaus messbar.

Untersuchen Sie, ob die Neutrinos bei $m_{\nu} c^2 \approx 0{,}3\text{ eV}$ einen bedeutsamen Beitrag von mindestens $10\,\%$ zur Masse der sichtbaren Materie des Universums leisten können.

[6 Punkte]