Aufgabe 3 - Teilaufgabe 2 · Abitur NRW Physik LK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg 2023

Teilaufgabe 2: Die Zerfallseigenschaften des Tritiums und das Energiespektrum seiner $\beta^-$-Strahlung

a)

Das Wasserstoffisotop $^3\mathrm{H}$ (Tritium) ist ein $\beta^-$-Strahler mit der Zerfallsgleichung:

$$^3\mathrm{H} \rightarrow {^3\mathrm{He}} + e^- + \bar{\nu}_e$$

Die Abnahme der Anzahl $N$ der Tritiumkerne in einer Probe als Funktion der Zeit wird durch das Zerfallsgesetz $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$ beschrieben. Dabei bezeichnet $N_0$ die Anfangszahl der Tritiumkerne und $\lambda$ die Zerfallskonstante des Tritiums.

Die Aktivität $A$ der Probe ergibt sich aus der Ableitung von $N$ nach der Zeit, also der Änderungsrate der Tritiumkerne $A = -\dot{N}$. Für die Aktivität $A$ gilt das Abnahmegesetz $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$.

• Zeigen Sie, dass die Anfangsaktivität $A_0$ der Probe durch folgende Beziehung gegeben ist: $A_0 = \lambda \cdot N_0$.

• Zeigen Sie, dass zwischen der Halbwertszeit $T_{1/2}$ eines radioaktiven Nuklids und seiner Zerfallskonstante $\lambda$ folgender Zusammenhang besteht: $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.

Beim radioaktiven Zerfall des Tritiums handelt es sich um einen einstufigen Zerfall, d. h., der Tochterkern ist stabil. Es kann demnach davon ausgegangen werden, dass die Aktivität einer Tritiumprobe ausschließlich aus dem Zerfall des Tritiums stammt. Die Aktivität einer konkreten Tritiumprobe wird zum Zeitpunkt $t = 0$ bestimmt und dann nach $t = 548\text{ d}$ erneut. Es zeigt sich, dass sich die Aktivität $A$ der Probe um $8{,}1\,\%$ gegenüber der ersten Messung reduziert hat.

• Bestimmen Sie mithilfe dieser Messung die Halbwertszeit $T_{1/2}$ von Tritium in Jahren.

b)

Da der $\beta^-$-Zerfall des Tritiums direkt in den Grundzustand des Tochternuklids $^3\mathrm{He}$ erfolgt, tritt bei diesem Prozess keine $\gamma$-Strahlung auf. Somit verteilt sich bei diesem $\beta^-$-Zerfall die gesamte frei werdende Energie $E_{\text{ges}}$ auf die entstehenden Teilchen. Für die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ des $\beta^-$-Zerfalls gilt dabei der folgende Zusammenhang:

$$E_{\text{ges}} = [m_{^3\mathrm{H}} - (m_{^3\mathrm{He}} + m_e + m_\nu)] \cdot c^2$$

Erläutern Sie die angegebene Beziehung zwischen den Massen und der beim $\beta^-$-Zerfall frei werdenden Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$.

c)

Ein gemessenes Energiespektrum der beim $\beta^-$-Zerfall des Tritiums entstehenden Elektronen ist in Abbildung 3 dargestellt.

• Beschreiben Sie, wie das Energiespektrum der Elektronen in Abbildung 3 verläuft.

Die Gesamtenergie des Zerfalls beträgt immer $E_{\text{ges}} \approx 18{,}6\text{ keV}$. Aufgrund des großen Massenunterschieds zwischen Elektron und Tochterkern kann der $^3\mathrm{He}$-Kern aus dem $\beta^-$-Zerfall aufgrund der Impulserhaltung maximal $0{,}04\,\%$ der kinetischen Energie des Elektrons $E_e$ erhalten.

• Begründen Sie, dass das ansonsten nicht nachweisbare Antineutrino $\bar{\nu}_e$ erforderlich ist, um das Spektrum in Abbildung 3 zu erklären.