Abitur NRW Physik 2022 · LK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg

Aufgabe 1: Experimentelle und theoretische Untersuchung von induktiven Vorgängen

Das Induktionsgesetz kann mit Differenzenquotienten gemäß $$U_{\text{ind}} = \underbrace{-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}}_{\text{1. Term}} \;\underbrace{- n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}}_{\text{2. Term}}$$ notiert werden. Dabei steht $U_{\text{ind}}$ für die Induktionsspannung, $n$ für die Windungszahl, $B$ für die Stärke des magnetischen Feldes, $A$ für die senkrecht vom Magnetfeld durchsetzte Fläche und $t$ für die Zeit.

Teilaufgabe 1: Grundlagen zum Induktionsgesetz

a)

Erläutern Sie jeweils, auf welche Ursache sich das Entstehen einer Induktionsspannung beim 1. bzw. 2. Term zurückführen lässt.

Beschreiben Sie jeweils ein Experiment, in dem sich eine Induktionsspannung gemäß dem 1. bzw. 2. Term nachweisen lässt.

b)

In einem Gedankenexperiment gemäß Abbildung 1 bewegt sich eine rechteckige, mit einem Voltmeter verbundene Leiterschleife der Breite $b$ mit konstanter Geschwindigkeit $v$ von links nach rechts vollständig durch ein räumlich begrenztes homogenes Magnetfeld der Stärke $B$. Abbildung 1 zeigt sowohl den Beginn des Gedankenexperiments zum Zeitpunkt $t = 0$ (Position 1) sowie das Ende (Position 2) der zu betrachtenden Bewegung.

Zeichnen Sie ein qualitatives $t$-$U_{\text{ind}}$-Diagramm dieses Gedankenexperiments.

c)

Das Auftreten einer von null verschiedenen Induktionsspannung beim Eintritt einer Leiterschleife in ein räumlich begrenztes homogenes Magnetfeld gemäß Abbildung 1 kann quantitativ mithilfe des oben angegebenen Induktionsgesetzes beschrieben werden. Begründen Sie, dass dafür eine Vereinfachung des angegebenen Induktionsgesetzes zu $U_{\text{ind}} = -B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}$ verwendet werden kann.

Zeigen Sie, dass sich daraus $U_{\text{ind}} = -v \cdot B \cdot b$ herleiten lässt.

Teilaufgabe 2: Fahrbahn-Versuche zum Induktionsgesetz

Im Folgenden wird das Gedankenexperiment gemäß Abbildung 1 in einem Realexperiment untersucht (siehe Abbildung 2a). Abbildung 2a zeigt den konkreten Aufbau mit einer Luftkissenfahrbahn, einem Gleiter mit Verdunklungsfahne und Leiterschleife, einem Hufeisenmagneten und zwei Lichtschranken. Die Leiterschleife befindet sich auf einem Gleiter, der sich auf der Luftkissenfahrbahn bewegt. Die Luftkissenfahrbahn dient dazu, eine gleichförmige Bewegung zu realisieren. Zwischen den Lichtschranken ist gemäß Abbildung 2a der Hufeisenmagnet angebracht. Der Gleiter bewegt sich durch den Hufeisenmagneten und die Lichtschranken hindurch. Die Lichtschranken messen jeweils eine Verdunklungszeit $\Delta t$.

Abbildung 2b zeigt den Gleiter samt Verdunklungsfahne der Länge $\Delta l$, auf der eine Leiterschleife mit der Breite $b$ und der Länge $d$ angebracht ist. Bei Kenntnis der Länge $\Delta l$ der Verdunklungsfahne lässt sich durch das Messen der Verdunklungszeit $\Delta t$ der Geschwindigkeitsbetrag $v$ des Gleiters mittels $v = \frac{\Delta l}{\Delta t}$ berechnen.

a)

Die Leiterschleife ist an ein Messwerterfassungssystem angeschlossen, sodass der zeitliche Verlauf der elektrischen Spannung aufgezeichnet werden kann. Abbildung 3 stellt das aufgenommene Spannungssignal dar, wobei die Verdunklungszeiten der beiden Lichtschranken gleich gemessen werden. Beschreiben Sie das Diagramm in Abbildung 3.

b)

Die Leiterschleife bewegt sich entlang der $x$-Achse (vgl. Abbildung 4), wobei die Ortskoordinate $x = 0\text{ cm}$ genau mittig zwischen den Schenkeln des Hufeisenmagneten liegt. Das Magnetfeld des Hufeisenmagneten wird im Folgenden zwischen den Schenkeln ($-1{,}5\text{ cm} \le x \le 1{,}5\text{ cm}$) näherungsweise als homogen angenommen. Außerhalb der Schenkel ist das Magnetfeld inhomogen. Abbildung 5a stellt die Stärke $B$ des Magnetfeldes in Abhängigkeit vom Ort $x$ dar. Die Abbildungen 5b und 5c zeigen die sich von links nach rechts bewegende Leiterschleife an zwei verschiedenen Positionen. Bei der Bewegung der Leiterschleife von links nach rechts (vgl. Abbildungen 5b und 5c) wirkt jeweils im rechten und linken Leiterstück eine Lorentzkraft. Damit kann die Stärke des gemessenen Spannungssignals erklärt werden. Erklären Sie mithilfe eines Vergleichs der Lorentzkraft im rechten und linken Leiterstück, dass in Abbildung 5b das gemessene Spannungssignal höher ist als in Abbildung 5c.

Begründen Sie, dass die gemessene Spannung kleiner wird, wenn sich das rechte Leiterstück durch den homogenen Feldbereich bewegt.

Erläutern Sie, dass die Spannung mit $U = 0\text{ mV}$ gemessen wird, wenn sich die Mitte der Leiterschleife genau in der Mitte des homogenen Feldbereichs befindet.

Das Spannungssignal gemäß Abbildung 3 verändert sich, wenn im Experiment eine Leiterschleife mit der halben Länge $d = 4{,}5\text{ cm}$ (statt $d = 9{,}0\text{ cm}$) verwendet wird. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass die Breite $b$ gleich ist, die Lichtschranken weiterhin die gleichen Verdunklungszeiten wie in 2a) messen und sich die Mitte der kürzeren Leiterschleife zum selben Zeitpunkt in der Mitte des homogenen Feldbereichs befindet.

• Skizzieren Sie in Abbildung 3 das veränderte Spannungssignal.

c)

In Abbildung 6 sind vier $t$-$U$-Diagramme und die dazugehörigen Verdunklungszeiten $\Delta t$ dargestellt. Dabei hat sich die Leiterschleife jeweils gleichförmig durch den Hufeisenmagneten bewegt. $U_{\text{max}}$ beschreibt den maximalen Betrag des Spannungssignals ohne Berücksichtigung des Vorzeichens. Die maximale Stärke $B_{\text{max}}$ des magnetischen Feldes im homogenen Bereich kann für die verwendete Leiterschleife näherungsweise mittels $U_{\text{max}} = v \cdot B_{\text{max}} \cdot b$ ermittelt werden. Die Breite der Leiterschleife beträgt dabei $b = 3{,}2\text{ cm}$ und die Länge der Verdunklungsfahne $\Delta l = 10\text{ cm}$.

• Bestimmen Sie für jedes Diagramm gemäß Abbildung 6 den Betrag der maximalen Induktionsspannung $U_{\text{max}}$ sowie den Geschwindigkeitsbetrag $v$ des Gleiters.

Hinweis: Berücksichtigen Sie dabei die unterschiedlichen Skalierungen der $U$-Achsen.

Messung · 1 · 2 · 3 · 4

$\Delta t$ in s · 0,22 · 0,27 · 0,38 · 0,50

$U_{\text{max}}$ in mV

$v$ in $\frac{\text{cm}}{\text{s}}$

• Zeichnen Sie ein $v$-$U_{\text{max}}$-Diagramm.

d)

Der Versuchsaufbau wird gemäß Abbildung 7a durch einen weiteren Hufeisenmagneten ergänzt. Die zweite Lichtschranke ist dabei der Übersichtlichkeit halber nicht mehr dargestellt. Der Gleiter samt rechteckiger Leiterschleife bewegt sich gleichförmig von links nach rechts. Abbildung 7b zeigt das dabei aufgenommene $t$-$U$-Diagramm. Erläutern Sie mithilfe von Abbildung 7b, wie der ergänzte Magnet gepolt ist und welcher der beiden Magnete eine größere Stärke $B$ des magnetischen Feldes aufweist.

Dem Diagramm in Abbildung 7b kann man zwei Nulldurchgänge des Spannungssignals entnehmen. Bei einem Nulldurchgang muss die Mitte der Leiterschleife genau mittig zwischen den Schenkeln eines Hufeisenmagneten sein (vgl. Aufgabenteil 2b).

e)

Nachfolgend wird das Experiment abermals verändert. Unter den gleichnamigen Polen der beiden Hufeisenmagneten werden jeweils quaderförmige Eisenkerne so angebracht, dass zwischen ihnen ein Spalt ist (vgl. Abbildung 8a). Abbildung 8b zeigt das aufgenommene $t$-$U$-Diagramm, wenn sich der Gleiter abermals gleichförmig von links nach rechts bewegt. Die Leiterschleife bewegt sich dabei durch den Spalt zwischen den beiden Eisenkernen. Vergleichen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung in Abbildung 3 und Abbildung 8b.

Erklären Sie die mit annähernd $U = 0$ gemessene Spannung im Zeitintervall von $t = 2{,}96\text{ s}$ bis $t = 3{,}24\text{ s}$ in Abbildung 8b.

Aufgabe: Welleneigenschaften von Farbstoffmolekülen

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Welleneigenschaften von Farbstoffmolekülen

Teilaufgabe 1: Materiewellen

a) Die Abbildungen 1a und 1b zeigen Momentaufnahmen aus einer Simulation zur Ausbreitung von Wellen. In Abbildung 1a trifft eine von links einlaufende ebene Welle der Wellenlänge $\lambda$ auf einen Spalt der Breite $b \approx \lambda$. In Abbildung 1b ist hingegen $b > \lambda$.

• Nennen Sie die Aussagen des Huygens’schen Prinzips.

• Erläutern Sie unter Verwendung des Huygens’schen Prinzips, wie sich die Wellen hinter dem jeweiligen Spalt ausbreiten, und berücksichtigen Sie dabei besonders das Phänomen der Beugung.

b) Nach de Broglie kann man jedem Objekt der Masse $m$, das sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt, die Wellenlänge $\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$ zuordnen, wobei $h$ das Planck’sche Wirkungsquantum ist.

• Berechnen Sie die Wellenlänge $\lambda$, die einem $\mathrm{H_2}$-Molekül der Masse $m = 3{,}32 \cdot 10^{-27}\text{ kg}$ mit der Geschwindigkeit $v = 200\text{ m/s}$ zugeordnet werden kann.

Im Gegensatz zu Lichtwellen sind bei Beugungsexperimenten mit Materiewellen materiefreie Spaltöffnungen erforderlich.

• Geben Sie einen Grund dafür an, warum die Spaltöffnungen frei von Materie sein müssen.

• Erläutern Sie anhand der Abbildungen 1a und 1b, weshalb nach der De-Broglie-Beziehung Welleneigenschaften von Materie nur bei Objekten mit sehr kleiner Masse $m$ deutlich beobachtbar sein können.

c) De Broglie gewann die Beziehung $\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$ im Kern, indem er die seit Einstein bekannte Gleichung $\lambda_{\mathrm{Ph}} = \frac{h}{m_{\mathrm{Ph}} \cdot c}$ für Photonen (mit $c = v_{\mathrm{Ph}}$) auf Objekte mit Masse und der Geschwindigkeit $v < c$ übertrug.

Leiten Sie die Einstein’sche Gleichung $\lambda_{\mathrm{Ph}} = \frac{h}{m_{\mathrm{Ph}} \cdot c}$ für Photonen her.

Teilaufgabe 2: Ein Interferenzexperiment mit Farbstoffmolekülen

2012 untersuchte eine internationale Forschergruppe an der Universität Wien in einem beeindruckenden Experiment die quantenmechanische Wellennatur massereicher Farbstoffmoleküle. In Abbildung 2 ist der grundsätzliche Aufbau der Apparatur dargestellt.

In einer Vakuumkammer trifft ein horizontaler Strahl von Farbstoffmolekülen gleicher Geschwindigkeit auf ein Beugungsgitter mit der Gitterkonstante $g = 100\text{ nm}$. Am Ende der Apparatur gelangen die Moleküle auf eine Detektorplatte im Abstand $a = 564\text{ mm}$ hinter dem Gitter, wo ein Laser sie zum Leuchten anregt. Eine Kamera mit vorgesetztem Farbfilter nimmt das Interferenzbild auf der Detektorplatte auf.

a) Erläutern Sie qualitativ, wie die Interferenzmaxima auf der Detektorplatte zustande kommen.

b) Für den Abstand $d_n$ des Maximums $n$-ter Ordnung zum Maximum nullter Ordnung gilt mit der Kleinwinkelnäherung $\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ folgender Zusammenhang:$$d_n = \frac{n \cdot \lambda \cdot a}{g}$$Hierbei ist $\lambda$ die den Farbstoffmolekülen zugeordnete Wellenlänge.

Leiten Sie diesen Zusammenhang unter Verwendung einer aussagekräftigen Skizze her.

c) In einem ersten Versuch haben die Farbstoffmoleküle die Geschwindigkeit $v = 150\text{ m/s}$. Abbildung 3 gibt die auf der Detektorplatte gemessene Intensitätsverteilung des Interferenzmusters wieder.

• Bestimmen Sie die Masse $m$ der Farbstoffmoleküle im Experiment mithilfe von Abbildung 3, des Zusammenhangs aus Aufgabenteil b) und der De-Broglie-Beziehung.

Die Geschwindigkeit $v$ der eingesetzten Farbstoffmoleküle schwankt geringfügig um den oben genannten Wert, es liegt also eine Streuung $\Delta v$ vor.

• Erläutern Sie, wie sich die beiden Maxima erster Ordnung verändern, wenn man die Streuung $\Delta v$ verkleinern könnte.

d) Abbildung 4 zeigt vier Momentaufnahmen aus dem Video, das die Kamera während der Versuchsdurchführung aufgenommen hat. Zu sehen ist jeweils der gleiche Ausschnitt der Detektorplatte zu verschiedenen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten $t_1 < t_2 < t_3 < t_4$.

Beschreiben Sie die zeitliche Entwicklung des Interferenzmusters.

e) In einer abgewandelten Variante des Experiments haben die Farbstoffmoleküle stark unterschiedliche Geschwindigkeiten: Im Strahl kommen alle Geschwindigkeiten $v$ zwischen einem Minimalwert $v_{\min}$ und einem Maximalwert $v_{\max}$ vor. Abbildung 5 stellt das gesamte Interferenzmuster auf der Detektorplatte dar. Der Pfeil gibt die Richtung der Gravitationskraft $F_{\mathrm{G}}$ an, die auf die Moleküle wirkt.

In der Veröffentlichung des Fotos schreiben die Forschenden: „Wir können [...] die Geschwindigkeit der Moleküle ableiten, da die Beugung den Molekülstrahl in horizontaler Richtung ausbreitet und die Gravitationskraft dazu führt, dass die Höhe $h$ auf der Detektorplatte von der Geschwindigkeit $v$ des Moleküls abhängt.“

• Erklären Sie unter Heranziehung des Zitats, warum die Interferenzstreifen der Maxima erster Ordnung nicht parallel verlaufen.

• Weisen Sie mithilfe von Abbildung 5 nach, dass die Geschwindigkeit $v_{\max}$ der schnellsten Moleküle ungefähr doppelt so groß ist wie die Geschwindigkeit $v_{\min}$ der langsamsten Moleküle.

• Beschreiben Sie das Muster, das sich bei Durchführung des Versuchs unter Schwerelosigkeit zeigen würde.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Welleneigenschaften von Farbstoffmolekülen

Teilaufgabe 3: Detektion von Farbstoffmolekülen mittels eines Lasers

Zur Anregung der Farbstoffmoleküle dient ein Laser, der monochromatisches Licht der Wellenlänge $\lambda_L = 661\text{ nm}$ abstrahlt. Er beleuchtet die Detektorplatte gleichmäßig. Wenn ein Farbstoffmolekül auf der Detektorplatte ein Photon des Laserlichts absorbiert, nimmt es dessen Energie auf und gibt sie danach teils als Photon, teils als Wärme wieder ab.

a)

In Abbildung 6 ist ein Ausschnitt des Emissionsspektrums der im Experiment eingesetzten Farbstoffmoleküle dargestellt.

Das sichtbare Licht umfasst im elektromagnetischen Spektrum den Wellenlängenbereich $400\text{ nm} \le \lambda \le 780\text{ nm}$.

• Geben Sie die Farbe an, die zum in Abbildung 6 gezeigten Wellenlängenbereich gehört.

• Begründen Sie, warum die Farbstoffmoleküle Licht anderer Farben des sichtbaren Spektrums nicht aussenden.

Bei der Filmaufnahme befindet sich vor dem Kameraobjektiv ein Farbfilter. Er absorbiert das Laserlicht der Wellenlänge $\lambda_L = 661\text{ nm}$ und lässt lediglich Licht aus einem schmalen Wellenlängenbereich um $\lambda = 700\text{ nm}$ durch.

• Erläutern Sie, welchen Zweck der Farbfilter bei der Filmaufnahme hat.

b)

Die Strahlungsleistung des Lasers, also die je Zeiteinheit abgegebene Energie, beträgt $P_L = 50\text{ }\frac{\text{mJ}}{\text{s}}$.

Berechnen Sie, wie viele Photonen der Laser pro Sekunde aussendet.

c)

Ein Teil des monochromatischen Laserlichts wird an der Detektorplatte reflektiert und fällt dann auf die Metallwand der Vakuumkammer. Dort können durch den Photoeffekt freie Elektronen entstehen.

• Geben Sie an, welche Bedingung das Metall hierfür erfüllen muss.

Nacheinander wird die Metallwand mit dem Licht zweier unterschiedlicher Laser, im Folgenden Laser 1 und Laser 2 genannt, bestrahlt. Beide besitzen dieselbe Strahlungsleistung $P_L$, doch Laser 1 sendet pro Sekunde weniger Photonen aus als Laser 2.

• Entscheiden Sie für beide Aussagen A und B begründet, ob sie richtig oder falsch sind.

Aussage A: Wenn Laser 1 den Photoeffekt in der Metallwand nicht auslöst, dann löst auch Laser 2 den Photoeffekt dort nicht aus.

richtig

falsch

Aussage B: Wenn Laser 1 den Photoeffekt in der Metallwand auslöst, dann löst auch Laser 2 den Photoeffekt dort aus.

richtig

falsch

Teilaufgabe 1: Physikalische Grundlagen der Röntgenspektroskopie

a)

Zur Erzeugung von Röntgenstrahlung dienen speziell dafür ausgelegte Vakuumröhren.

• Zeichnen Sie eine beschriftete Skizze, die den Aufbau einer Röntgenröhre und deren elektrische Beschaltung darstellt.

b)

In Abbildung 1 ist ein typisches Röntgenspektrum dargestellt. Es setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: dem kontinuierlichen Spektrum der Bremsstrahlung und den Linien der charakteristischen Röntgenstrahlung.

c)

Ein Röntgenspektrum lässt sich einfach mit der Drehkristallmethode aufnehmen. Abbildung 2 zeigt einen typischen Versuchsaufbau für dieses Messverfahren.

Bei der Messung des Röntgenspektrums mit dieser Methode trifft die gebündelte Strahlung unter einem Winkel $\vartheta$ auf einen Einkristall, dessen Oberfläche parallel zu seinen Netzebenen verläuft. Unter dem Winkel $2\vartheta$ zur Einfallsrichtung der Röntgenstrahlung misst ein Zählrohr die vom Einkristall gestreute Strahlung. Für die Wellenlänge $\lambda$ der dort nachgewiesenen Röntgenstrahlung gilt die sogenannte Bragg-Bedingung:

$$n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin\vartheta \quad \text{mit } n = 1, 2, 3, \dots$$

Dabei bezeichnet $d$ den Abstand benachbarter Netzebenen des Einkristalls.

• Leiten Sie die Bragg-Bedingung mithilfe einer passenden Skizze her.

Bei der Messung eines Röntgenspektrums mit einem typischen Schulröntgengerät wird bei der Drehkristallmethode der Einkristall in gleichmäßigen Drehschritten $\Delta\vartheta$, beginnend bei kleinen Winkeln bis zu $\vartheta = 45^\circ$, bewegt. Das Zählrohr wird dabei entsprechend um den doppelten Drehwinkel mitgeführt. Nach jedem Drehschritt wird für eine immer gleiche Zeit $\Delta t$ die Zahl der Strahlungsereignisse im Zählrohr gemessen und für den jeweiligen Winkel $\vartheta$ registriert.

Bei einer konkreten Messung mit einem LiF-Kristall (Netzebenenabstand $d = 0{,}201\text{ nm}$) beträgt die Drehschrittweite $\Delta\vartheta = 0{,}2^\circ$. Die Messung beginnt bei $\vartheta = 3{,}0^\circ$.

Die Messung erfolgt bei einer Beschleunigungsspannung an der Röntgenröhre von $U_{\text{B}} = 25{,}0\text{ kV}$.

Teilaufgabe 2: Sortierung des Periodensystems durch Bestimmung der Ordnungszahlen der Elemente

a)

Abbildung 3 zeigt das Spektrum der Röntgenstrahlung des Kupfers. Die beiden Linien in dem Spektrum sind die $\text{K}_\alpha$- und die $\text{K}_\beta$-Linie des Kupfers. Die genaue Wellenlänge der $\text{K}_\alpha$-Linie in diesem Spektrum beträgt $\lambda_{\text{K}\alpha} = 0{,}154\text{ nm}$. Abbildung 4 zeigt das vereinfachte Niveauschema eines Atoms mit den Übergängen der charakteristischen Röntgenlinien.

b)

Dem britischen Physiker H. Moseley gelang es bereits 1914 empirisch, den folgenden Zusammenhang zwischen den Wellenlängen der $\text{K}_\alpha$-Röntgenlinien der chemischen Elemente (bis zum Zirkon) und deren Ordnungszahl $Z$ zu finden:

$$\sqrt{\frac{1}{\lambda_{\text{K}\alpha}}} = \sqrt{C} \cdot (Z - 1)$$

Dabei bezeichnet $\sqrt{C}$ eine empirisch gefundene Proportionalitätskonstante mit der Maßeinheit $[\sqrt{C}] = 1\,\frac{1}{\sqrt{\text{m}}}$.

Tabelle 1 beinhaltet die von H. Moseley gemessenen Wellenlängen der $\text{K}_\alpha$-Röntgenlinien einiger Elemente.

Element:

Aluminium

Kalzium

Chrom

Kobalt

Zink

Zirkon

$Z$:

13

20

24

27

30

40

$\lambda_{\text{K}\alpha}$ in m:

$8{,}36 \cdot 10^{-10}$

$3{,}37 \cdot 10^{-10}$

$2{,}30 \cdot 10^{-10}$

$1{,}80 \cdot 10^{-10}$

$1{,}45 \cdot 10^{-10}$

$0{,}794 \cdot 10^{-10}$

• Zeigen Sie mithilfe einer grafischen Auswertung, dass die Messwerte aus Tabelle 1 den oben genannten Zusammenhang bestätigen.

Teilaufgabe 3: Extrem seltene Elemente und ihre Entstehung

Aufgrund immer besserer chemischer Analyse- und Synthesemethoden sowie einer weiter verbesserten Röntgenspektroskopie gelang es bis 1930, fast alle chemischen Elemente mit einer Ordnungszahl kleiner als der des Wismut ($Z < 83$) in natürlich vorkommenden Mineralien zu entdecken und in das Periodensystem der Elemente einzusortieren. Lediglich die chemischen Elemente mit den Ordnungszahlen $Z = 43$ und $Z = 61$ konnten damals noch nicht nachgewiesen werden.

a)

Heute ist bekannt, dass das Element mit der Ordnungszahl $Z = 43$ (Technetium Tc) ausschließlich Isotope besitzt, welche radioaktiv zerfallen. Abbildung 5 zeigt einen Ausschnitt aus einer heutigen Nuklidkarte.

Geben Sie für die beiden Tc-Isotope mit den größten Halbwertszeiten jeweils die Zerfallsgleichung an.

Man nimmt an, dass bei der Entstehung der Erdmaterie vor etwa $t_E = 5{,}0 \cdot 10^9\text{ a}$ eine gewisse Menge an Technetium mitentstanden ist.

Bestimmen Sie, welcher Bruchteil der ursprünglichen Menge des Technetiumisotops mit der längsten Halbwertszeit nach „nur“ $\frac{1}{20} t_E$ noch vorhanden war.

Im Jahr 1937 wurde das Element Technetium erstmals aus einer Molybdän-Folie chemisch extrahiert und röntgenspektroskopisch identifiziert. Diese Molybdän-Folie war zuvor an einem Teilchenbeschleuniger über einen langen Zeitraum mit hochenergetischen Deuteriumkernen ($^2\text{H}$-Kernen) beschossen worden.

Geben Sie die Gleichung einer denkbaren Kernreaktion an, durch die in der Molybdän-Folie ein Technetiumisotop entstanden sein könnte.

Erst 24 Jahre später konnte das natürliche Vorkommen von Technetium in winzigen Spuren in Uranerzen nachgewiesen werden. Es entsteht dort infolge einer extrem selten vorkommenden Spontanspaltung (sf) eines $^{238}\text{U}$-Kerns. Abbildung 6 zeigt die Zerfallsgleichung dieses natürlichen Vorgangs sowie die daraus resultierende Zerfallsreihe bis zum Technetium. Die in der Zerfallsreihe angegebenen Zeiten sind die Halbwertszeiten der entsprechenden Nuklide.

Erklären Sie qualitativ, weshalb im Uranerz zwar $^{99}\text{Tc}$ nachgewiesen werden kann, nicht aber die übrigen Nuklide der Zerfallsreihe aus Abbildung 6.

b)

Genauso wie Technetium besitzt auch das Element mit $Z = 61$ (Promethium Pm) keine stabilen Isotope. Die Pm-Isotope mit den längsten Halbwertszeiten sind:

Isotop:

$^{145}\text{Pm}$

$^{146}\text{Pm}$

$^{147}\text{Pm}$

Halbwertszeit $t_H$:

$17{,}71\text{ a}$

$5{,}534\text{ a}$

$2{,}625\text{ a}$

Tabelle 2: Pm-Isotope mit den längsten Halbwertszeiten

Dieses Element wurde erst 1947 im Zuge der chemischen Untersuchung der Spaltprodukte aus den ersten Kernreaktoren entdeckt. Abbildung 7 zeigt die relative Häufigkeit $H$ der Spaltprodukte eines typischen Kernreaktors als Funktion von deren Massenzahl $A$.

Beurteilen Sie mithilfe von Abbildung 7 qualitativ, wie häufig das Element Promethium relativ gesehen unter den Spaltprodukten eines Kernreaktors zu erwarten ist.

Im Vergleich zum Element Technetium ist das Element Promethium in der Erdkruste noch einmal deutlich seltener anzutreffen. Es entsteht auf natürlichem Wege in Uranerzen durch einen ähnlichen Spalt- und Zerfallsmechanismus wie in Abbildung 6. Man geht heute davon aus, dass es in der ganzen Erdkruste insgesamt lediglich $m = 0{,}570\text{ kg}$ Promethium natürlichen Ursprungs gibt. Es handelt sich dabei praktisch ausschließlich um das Isotop $^{147}\text{Pm}$.

Bestimmen Sie die Gesamtaktivität $A_{\text{ges}}$ des in der Erdkruste natürlich vorhandenen Promethiums in $\text{Bq}$.

Hinweis: Sie können davon ausgehen, dass $147\text{ g}$ natürliches Promethium etwa $6{,}02\cdot 10^{23}\text{ Pm-Atomen}$ entsprechen.

Teilaufgabe 4: Das extraterrestrische Vorkommen von Promethium

Heute ist bekannt, dass Promethium auf der Erde und damit wahrscheinlich auch in unserem Sonnensystem nur in verschwindend geringen Mengen natürlich vorkommt. Durch Untersuchungen der optischen Absorptionsspektren einiger sehr spezieller Sterne weiß man heute aber auch, dass Promethium sowie die im Periodensystem benachbarten Elemente im Bereich der Oberfläche und der nahen Umgebung dieser Sterne in messbarer Menge vorhanden sind. Das Alter dieser seltenen speziellen Sterne ist etwa dem unserer Sonne vergleichbar (ca. $5\cdot 10^9\text{ a}$).

a)

Begründen Sie qualitativ, warum der Nachweis von Promethium in diesen Sternen nur dadurch zu erklären ist, dass das Element dort fortlaufend neu gebildet wird.

Eine der Theorien, die das dortige „viel häufigere“ Vorkommen der bei uns sehr seltenen chemischen Elemente erklären soll, geht davon aus, dass im Bereich der Oberfläche dieser besonderen Sterne eine hohe Konzentration von langlebigen Uranisotopen vorhanden ist. Diese langlebigen Uranisotope existieren dort seit der Sternentstehung und werden durch die dort reichlich vorhandenen freien Neutronen aus dem Inneren des Sterns permanent gespalten. Als Spaltprodukte bleiben dabei u. a. die seltenen Elemente in messbarer Menge zurück.

b)

Erläutern Sie qualitativ, auf welche Weise sich diese Theorie durch Beobachtungen experimentell bestätigen oder widerlegen ließe.