Abitur NRW Physik 2023 · LK · Nachtermin

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Messung von Foliendicken

In der Folienproduktion gelten strenge Qualitätsanforderungen. Dazu gehört unter anderem, dass die festgelegten Materialdicken der Folien bis auf wenige Mikrometer eingehalten werden. Um dies zu überprüfen, wird die Dicke der Folie gemessen. Abbildung 1a stellt den grundsätzlichen Messaufbau dar, Abbildung 1b zeigt beispielhaft eine Dickenmessanlage.

Für die Dickenmessung kommen unterschiedliche Strahlenarten infrage. In Teilaufgabe 1 wird zunächst Röntgenstrahlung eingesetzt, anschließend in Teilaufgabe 2 $\alpha$-Strahlung. Als Detektor dient in Teilaufgabe 1 ein Geiger-Müller-Zählrohr (GMZ), in Teilaufgabe 2 ein Halbleiterdetektor.

Teilaufgabe 1: Dickenmessung mit Röntgenstrahlung

Als Strahlenquelle dient zunächst eine Röntgenröhre. Abbildung 2 zeigt zwei Röntgenspektren: Eines wurde ohne Zirkon-Filter (Zr-Filter), das andere mit Zr-Filter aufgenommen.

Aufgetragen ist die Wellenlänge $\lambda$ in Pikometern gegen die mit einem GMZ gemessene Zählrate $R$ in Impulsen pro Sekunde (Imp/s).

a)

Zuerst soll das Röntgenspektrum ohne Zr-Filter qualitativ untersucht werden (vgl. durchgezogener Graph in Abbildung 2).

Beschreiben Sie das Spektrum ohne Zr-Filter anhand von Abbildung 2.

Beschreiben Sie, welche physikalischen Prozesse auf atomarer Ebene in einer Röntgenröhre Röntgenstrahlung erzeugen.

b)

Nun wird das Röntgenspektrum ohne Zr-Filter quantitativ ausgewertet.

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Beschleunigungsspannung $U_B$, die an der Röntgenröhre eingestellt ist.

Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 die Wellenlängen $\lambda_1$ und $\lambda_2$ der beiden Peaks.

Die beiden Peaks gehören zu charakteristischen Linien des Röntgenspektrums, hier zur $K_\alpha$- und zur $K_\beta$-Linie.

Berechnen Sie die Energien der $K_\alpha$- und der $K_\beta$-Linie in keV.

Begründen Sie mithilfe einer quantitativen Energiebetrachtung, weshalb der Peak der $L_\alpha$-Linie in Abbildung 2 fehlt.

c)

Um die Röntgenstrahlung zu filtern, wird ein Zr-Filter vor den Austritt der Röntgenröhre gestellt (vgl. gestrichelter Graph in Abbildung 2).

Vergleichen Sie die zwei Spektren aus Abbildung 2.

Erläutern Sie anhand von Abbildung 2, dass der Zr-Filter näherungsweise nur eine bestimmte Wellenlänge der Röntgenstrahlung passieren lässt.

d)

Für die Dickenmessung von Aluminiumfolie wird der Zr-Filter verwendet. Aluminiumfolie dient als Absorber im Strahlengang. Gemessen wird die Zählrate $R$ abhängig von der Anzahl $n$ hintereinander angeordneter Folien. Tabelle 1 enthält die Messwerte.

Anzahl $n$ der Aluminiumfolien

0

32

64

128

256

Zählrate $R$ in Imp/s

2346

1734

1172

534

148

Für die Schwächung der Röntgenstrahlung durch die Folien gilt: $R(n) = R_0 \cdot e^{-\mu n}$. Dabei bezeichnet $R_0$ die Zählrate ohne Absorber (Eingangszählrate), $R(n)$ die Zählrate bei $n$ Folien und $\mu$ einen Schwächungskoeffizienten.

Zeigen Sie durch Auswertung aller Messwerte, dass diese näherungsweise folgendem Gesetz folgen: $R(n) = 2350\,\frac{1}{\text{s}} \cdot e^{-\mu n}$ mit $\mu = 0{,}011$.

e)

$n_{1/2}$ ist die Anzahl der Aluminiumfolien, bei der die Zählrate $R$ der Röntgenstrahlung auf die Hälfte der Anfangsrate $R_0$ gesunken ist.

Bestimmen Sie $n_{1/2}$.

Berechnen Sie die Anzahl $n$ der Folien, bei der etwa $19\,\%$ der Anfangsrate $R_0$ gemessen werden.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Messung von Foliendicken

In der Folienproduktion gelten strenge Qualitätsanforderungen. Dazu gehört unter anderem, dass die festgelegten Materialdicken der Folien bis auf wenige Mikrometer eingehalten werden. Um dies zu überprüfen, wird die Dicke der Folie gemessen. Abbildung 1a stellt den grundsätzlichen Messaufbau dar, Abbildung 1b zeigt beispielhaft eine Dickenmessanlage.

Für die Dickenmessung kommen unterschiedliche Strahlenarten infrage. In Teilaufgabe 1 wird zunächst Röntgenstrahlung eingesetzt, anschließend in Teilaufgabe 2 $\alpha$-Strahlung. Als Detektor dient in Teilaufgabe 1 ein Geiger-Müller-Zählrohr (GMZ), in Teilaufgabe 2 ein Halbleiterdetektor.

Teilaufgabe 2: Dickenmessung mit radioaktivem Präparat

Für radioaktive Zerfälle gilt das Zerfallsgesetz: $N(t) = N_0 \cdot \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}$. Hierbei ist $N_0$ die Anzahl der am Anfang vorhandenen Atomkerne (also für $t = 0$), $N(t)$ die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne zur Zeit $t$ und $\lambda$ die Zerfallskonstante. Neben der Anzahl der Kerne ist die Aktivität $A$ eines radioaktiven Präparates, also die Anzahl der Kernzerfälle pro Zeit von Interesse.

a)

Leiten Sie ausgehend vom Zerfallsgesetz her, dass für die Aktivität $A$ die Gleichung $A(t) = \lambda \cdot N(t)$ gilt.

b)

Der radioaktive Zerfall des Radionuklids Americium-241 (Am-241) wird durch

$${}^{241}_{95}\mathrm{Am} \rightarrow {}^{237}_{93}\mathrm{Np} + {}^4_2\alpha$$

beschrieben. Die Halbwertszeit von Am-241 beträgt $T_H = 432{,}2\ \mathrm{a}$.

• Geben Sie anhand der Nuklidkarte die nächsten drei Zerfallsschritte der Am-241-Zerfallsreihe an und nennen Sie dabei jeweils die Halbwertszeit $T_H$.

• Begründen Sie, weshalb die Zerfälle der Tochterkerne von Am-241 bei einem frisch hergestellten Präparat dieses Radionuklids kaum zur ionisierenden Strahlung beitragen.

c)

Für den Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten $\lambda$ und der Halbwertszeit $T_H$ gilt: $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_H}$. Zum Zeitpunkt $t = 0$ beträgt die Anzahl der noch nicht zerfallenen Am-241-Kerne eines Präparates $N_0 = 1{,}455 \cdot 10^{15}$.

Bestimmen Sie die Aktivität $A_0$ des Präparates.

Für die weiteren Experimente wird ein Am-241-Strahlerstift mit einer Aktivität von $A = 70\ \mathrm{kBq}$ verwendet. Das im Strahlerstift befindliche Americium ist von einem Metallzylinder umschlossen. Damit keine Am-241-Kerne aus dem Strahlerstift gelangen können, befindet sich eine sehr dünne Abdeckschicht vor der Öffnung des Strahlerstifts. Mit einem Halbleiterdetektor lässt sich die Energie der aus dem Strahlerstift austretenden $\alpha$-Strahlung messen. Um den Energieverlust von $\alpha$-Strahlung beim Durchgang durch Aluminiumfolie zu messen, werden zwischen Am-241-Strahlerstift und Halbleiterdetektor Aluminiumfolien gesetzt (vgl. Abbildung 3).

Bevor Messungen mit einer Aluminiumfolie im Strahlengang durchgeführt werden, befindet sich zwischen dem Strahlerstift und dem Halbleiterdetektor nur ein schmaler Luftspalt. Abbildung 4 zeigt in einem Energiespektrum die Anzahl registrierter $\alpha$-Teilchen, also die Impulse, in Abhängigkeit ihrer Energien $E$ in keV für eine Messzeit von $\Delta t = 10\ \mathrm{min}$.

Im Energiespektrum entspricht das Maximum der Messkurve dem am häufigsten gemessenen Energiewert. Dieser ist in Abbildung 4 mit einem Pfeil gekennzeichnet.

d)

Beschreiben Sie, wie der Graph in Abbildung 4 verläuft.

e)

Der Literatur kann man entnehmen, dass die meisten $\alpha$-Teilchen beim Mutterzerfall von Am-241 in Np-237 mit einer kinetischen Energie von etwa $E_{\mathrm{kin}} = 5{,}5\ \mathrm{MeV}$ emittiert werden.

Begründen Sie, weshalb der häufigste Energiewert der Messkurve in Abbildung 4 erheblich unter diesem Wert liegt.

Nacheinander werden unterschiedlich dicke Aluminiumfolien in den Strahlengang gebracht. Die Foliendicken sind $d_1 = 5\ \mu\mathrm{m}$, $d_2 = 6\ \mu\mathrm{m}$ und $d_3 = 10\ \mu\mathrm{m}$. Die drei Messungen sowie die Messung ohne Aluminiumfolie ($d_0 = 0\ \mu\mathrm{m}$) sind in Abbildung 5 zusammengefasst.

f)

• Ermitteln Sie aus Abbildung 5 für jede der Messkurven den häufigsten Energiewert.

Dicke $d$

$0\ \mu\mathrm{m}$

$5\ \mu\mathrm{m}$

$6\ \mu\mathrm{m}$

$10\ \mu\mathrm{m}$

Energie $E$ (in keV)

Zwischen den verwendeten Foliendicken $d$ und dem häufigsten Energiewert besteht näherungsweise ein linearer Zusammenhang.

• Zeigen Sie anhand der häufigsten Energiewerte, dass der Energieverlust $\Delta E$ der $\alpha$-Teilchen in Aluminium linear von der Foliendicke $d$ abhängt.

• Bestimmen Sie hieraus den Energieverlust $\Delta E$ in keV je $\mu\mathrm{m}$ Foliendicke $d$.

Die unbekannte Dicke $d$ einer Aluminiumfolie soll anhand einer Energiemessung bestimmt werden. Dazu wird sie in den Strahlengang der $\alpha$-Teilchen gebracht. Im Energiespektrum liegt der häufigste Energiewert bei $E = 2650\ \mathrm{keV}$.

• Ermitteln Sie hiermit die gesuchte Dicke $d$ der Aluminiumfolie.

g)

Ein Unternehmen, das Aluminiumfolien herstellt, möchte die Dicke $d$ der herzustellenden Folie möglichst konstant halten. Dazu kann einerseits während des laufenden Produktionsprozesses mit kurzen Messzeiten $\Delta t$ die Dicke $d$ gemessen werden, andererseits kann bei bereits produzierter Folie in einem Qualitätsprüfverfahren auch mit langen Messzeiten $\Delta t$ die Dicke $d$ gemessen werden. Beide Verfahren werden in der Industrie eingesetzt. Die Messung der Foliendicke $d$ ist dabei mit einer Messunsicherheit $\Delta d$ behaftet.

• Begründen Sie, weshalb die Messunsicherheit $\Delta d$ der Dickenmessung im laufenden Produktionsprozess größer ausfällt als im Qualitätsprüfverfahren.

• Beurteilen Sie, welches der in den Teilaufgaben 1 und 2 verwendeten Messverfahren zur Dickenmessung jeweils im Produktionsprozess und welches im Qualitätsprüfverfahren eingesetzt werden sollte.

Aufgabenstellung: Historische Experimente zu Erkenntnissen in der Quantenphysik

Davisson und Germer konnten 1927 als Erste die vom Physiker De Broglie 1923 vorhergesagte Welleneigenschaft eines Elektrons experimentell nachweisen. Erst 1961 gelang es Jönsson, die Welleneigenschaft des Elektrons am Doppelspalt nachzuweisen.

Teilaufgabe 1: De-Broglie-Hypothese

a)

Geben Sie jeweils ein Experiment samt zentraler Beobachtung an, das die Welleneigenschaft von Licht belegt, und eines, das die Teilcheneigenschaft von Licht belegt.

b)

De Broglie fasste Teilchen in Bewegung jeweils als eine Materiewelle auf und ordnete ihnen die Wellenlänge $\lambda = \frac{h}{p}$ zu, wobei $h$ das Planck'sche Wirkungsquantum und $p$ der Impuls der Teilchen ist.

Leiten Sie ausgehend von der für die Energie von Photonen mit der Frequenz $f$ geltenden Gleichung $E = h \cdot f$ die Gleichung $p = \frac{h}{\lambda}$ für den Impuls der Photonen $p$ unter Verwendung der relativistischen Beziehung $E = m \cdot c^2$ zwischen Energie $E$, Masse $m$ und Lichtgeschwindigkeit $c$ her.

c)

Gemäß der Hypothese von De Broglie lässt sich die hergeleitete Gleichung $p = \frac{h}{\lambda}$ auf beliebige Quantenobjekte anwenden. In einem Teilchenbeschleuniger wird ein Elektron auf die Geschwindigkeit von $v = 0{,}9\,c$ beschleunigt. Die Wellenlänge des Elektrons ist dann $\lambda = 1{,}18\,\text{pm}$.

Teilaufgabe 2: Das Davisson-Germer-Experiment

Davisson und Germer waren die ersten Physiker, die experimentell nachweisen konnten, dass man bewegten Elektronen eine Wellenlänge zuordnen kann. Dazu wurden Elektronen in Form eines Elektronenstrahls auf einen Nickel-Einkristall geschossen und die reflektierten Elektronen unter dem Winkel $\varphi$ detektiert.

Durchlaufen die Elektronen eine Beschleunigungsspannung von $U_B = 54{,}00\,\text{V}$, so findet eine Reflexion der Elektronen an den Atomen an der Oberfläche des Nickel-Einkristalls statt. Der Abstand benachbarter Atome wird mit $d$ bezeichnet.

a)

Zeichnen Sie in Abbildung 5 den Gangunterschied $\Delta s$ der beiden Elektronenstrahlen ein, erklären Sie, warum beim Detektor Maxima und Minima registriert werden können, und leiten Sie für Maxima die Beziehung $d \cdot \sin(\varphi) = n \cdot \lambda$ her.

b)

Unter einem Winkel von $\varphi = 50{,}00^\circ$ detektiert man das Maximum 1. Ordnung für $d = 215{,}0\,\text{pm}$.

%

c)

Erläutern Sie, wie sich der Winkel $\varphi$ des Maximums 1. Ordnung ändert, falls die Beschleunigungsspannung $U_B$ vergrößert wird.

d)

Beim Experiment mit der Elektronenbeugungsröhre kann man auch die Welleneigenschaft von Elektronen nachweisen.

e)

Die Beugung von Elektronen in der Graphitfolie erfolgt nach dem Prinzip der Bragg-Reflexion.

Teilaufgabe 3: Der Doppelspaltversuch von Jönsson

a)

Erläutern Sie, weshalb die Doppelspalte für Elektronen frei von Materie sein müssen.

b)

Beim Jönsson-Experiment wurde eine Beschleunigungsspannung von $U_B = 50{,}0\,\text{kV}$ genutzt. Die Elektronen hatten dann eine Wellenlänge von $\lambda = 5{,}36\,\text{pm}$. Die Entfernung zwischen Doppelspalt und Schirm betrug $e = 35{,}0\,\text{cm}$ und der Spaltabstand $d = 0{,}200\,\mu\text{m}$.

c)

Bei der Detektion von Elektronen, die einen Doppelspalt durchlaufen haben, können die Elektronen auf einem Schirm gemessen und gezählt werden.

d)

Beobachtet man beim Doppelspaltexperiment mit Elektronen, durch welchen Spalt sich das Elektron bewegt, so verändert sich das detektierte Bild.

Skizzieren Sie die Verteilung der Elektronen am Detektor und erklären Sie den wesentlichen Unterschied im Vergleich zu Abbildung 8 für $n = 140.000$ Detektionen mithilfe der Wellenfunktion.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Kernfusionsreaktoren

Wenn Fusionsreaktoren und ihre Technik weiter erforscht und optimiert werden, könnten sie künftig eine Alternative zu den bisher üblichen Energieträgern darstellen. Der ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) in Südfrankreich, der in den Abbildungen 1 und 2 dargestellt ist, ist ein Beispiel für einen solchen Reaktor. Um zu verstehen, wie Fusionsreaktoren funktionieren, spielen elektrische und magnetische Felder eine zentrale Rolle.

Teilaufgabe 1: Kernfusion von Deuterium und Tritium

Zur Beschreibung elektrischer Phänomene führte Michael Faraday den Begriff des Feldes ein.

a)

Nennen Sie zwei physikalische Merkmale eines elektrischen Felds.

b)

Bei der Kernfusion bildet sich ein Heliumkern, indem ein Tritiumkern ($^3\text{H}$-Isotop von Wasserstoff) mit der Ladung $q_T = +e$ und ein Deuteriumkern ($^2\text{H}$-Isotop von Wasserstoff) mit der Ladung $q_D = +e$ verschmelzen.

Betrachtet man die elektrische Kraft $F_\text{el}$ zwischen zwei Punktladungen der Ladung $q$ und $Q$ mit dem Abstand $r$, so wird diese gemäß $F_\text{el} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q\cdot Q}{r^2}$ bestimmt. Dabei beträgt die elektrische Feldkonstante $\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\frac{\text{As}}{\text{Vm}}$.

Stellen Sie die Wechselwirkung in einer Zeichnung dar, in der Sie die Kerne zusammen mit Pfeilen für die wirkenden Kräfte darstellen.

Wird der Abstand der beiden Kerne auf die Größenordnung eines Kerndurchmessers von $a_\text{F} = 10^{-15}\text{ m}$ verkleinert, kann es zur Fusion der Kerne kommen.

c)

Für die Kernfusion wird das Deuterium-Tritium-Gasgemisch auf mehr als 100 Millionen Grad Celsius aufgeheizt. Bei dieser Temperatur werden die Elektronen von den Tritium- und Deuteriumatomen abgelöst, sodass Kerne und Elektronen getrennt vorliegen. Die Tritiumkerne ($m_\text{T} = 3{,}02\text{ u}$) besitzen dann eine kinetische Energie von beispielsweise $E_\text{kin} = 13\text{ keV}$. Dabei bezeichnet $\text{u} = 1{,}66\cdot 10^{-27}\text{ kg}$ die atomare Masseneinheit.

d)

Im ITER sollen durch die Fusion pro Sekunde $E_1 = 500\text{ MJ}$ an Energie frei werden. Pro Fusion von einem Deuteriumkern ($m_\text{D} = 2{,}01\text{ u}$) und einem Tritiumkern ($m_\text{T} = 3{,}02\text{ u}$) wird eine Energie von $E_\text{F} = 17{,}6\text{ MeV}$ frei. Der gesamte Fusionsprozess soll für $t = 400\text{ s}$ aufrecht gehalten werden.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Kernfusionsreaktoren

Wenn Fusionsreaktoren und ihre Technik weiter erforscht und optimiert werden, könnten sie künftig eine Alternative zu den bisher üblichen Energieträgern darstellen. Der ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) in Südfrankreich, der in den Abbildungen 1 und 2 dargestellt ist, ist ein Beispiel für einen solchen Reaktor. Um zu verstehen, wie Fusionsreaktoren funktionieren, spielen elektrische und magnetische Felder eine zentrale Rolle.

Teilaufgabe 2: Herausfiltern von Heliumkernen

Damit die Fusion funktioniert, dürfen die entstehenden Heliumkerne als Fusionsprodukte das Deuterium-Tritium-Gasgemisch nicht verunreinigen. Sie müssen deshalb entfernt werden. Im Folgenden werden mehrere Filtermöglichkeiten betrachtet.

a)

Ein Wienfilter lässt ausschließlich geladene Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit $v$ durch. Hierfür überlagern sich ein Magnetfeld der Stärke $B$ und ein elektrisches Feld der Stärke $E$ (siehe Abbildung 3).

• Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 3, wie ein Wienfilter aufgebaut ist.

• Leiten Sie her, dass ausschließlich geladene Teilchen mit der Geschwindigkeit $v = \frac{E}{B}$ den Wienfilter ohne Ablenkung durchqueren.

• Entscheiden Sie, auf welcher der gekrümmten Bahnen in Abbildung 3 sich ein Heliumkern für $v > \frac{E}{B}$ bewegt.

Die Heliumkerne sind 15-mal so schnell wie die Deuterium- und Tritiumkerne zuvor.

• Erläutern Sie, auf welche Weise sich mit einem Wienfilter Heliumkerne aus dem Deuterium-Tritium-Gasgemisch entfernen lassen.

b)

Im ITER liegt ein Magnetfeld der Stärke $B = 5{,}3\ \text{T}$ vor. Aus baulichen Gründen wäre für einen Kondensator nur ein Plattenabstand von $d = 4{,}0\ \text{m}$ möglich.

• Berechnen Sie die Spannung $U$, die der Kondensator aufweisen müsste, damit Tritiumkerne der Geschwindigkeit $v = 9{,}0 \cdot 10^5\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ den Wienfilter durchlaufen können.

Nehmen Sie an, dass in Luft je Millimeter Plattenabstand ein Kilovolt für einen Funkenüberschlag nötig ist. In einem Deuterium-Tritium-Gasgemisch ist dieser Wert etwas geringer.

• Beurteilen Sie die erforderliche Spannung $U$ des Kondensators hinsichtlich der Umsetzbarkeit.

c)

Teilchen lassen sich auch filtern, indem man allein ein homogenes Magnetfeld verwendet. Steht dieses senkrecht zur Bewegungsrichtung eines geladenen Teilchens, bewegt es sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$ gemäß $r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B}$. Dabei bezeichnet $B$ die Magnetfeldstärke, $m$ die Teilchenmasse, $q$ die Ladung und $v$ die Geschwindigkeit des Teilchens.

• Leiten Sie die Gleichung $r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B}$ begründet her.

Die nach der Fusion entstehenden Heliumkerne mit der Ladung $q_{\text{He}} = +2e$ und der Masse $m_{\text{He}} = 4{,}00\ \text{u}$ müssen aus dem Deuterium-Tritium-Gasgemisch entfernt werden, weil dieses sonst instabil wird. Zudem sind die Heliumkerne 15-mal so schnell wie zuvor die Deuterium- und Tritiumkerne.

• Begründen Sie unter Verwendung der spezifischen Ladung $\frac{q}{m}$ und der Geschwindigkeit $v$, weshalb sich dieses Verfahren zum Filtern eignet.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Kernfusionsreaktoren

Wenn Fusionsreaktoren und ihre Technik weiter erforscht und optimiert werden, könnten sie künftig eine Alternative zu den bisher üblichen Energieträgern darstellen. Der ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) in Südfrankreich, der in den Abbildungen 1 und 2 dargestellt ist, ist ein Beispiel für einen solchen Reaktor. Um zu verstehen, wie Fusionsreaktoren funktionieren, spielen elektrische und magnetische Felder eine zentrale Rolle.

Teilaufgabe 3: Magnetfelder im Fusionsreaktor

a)

Beschreiben Sie ein Experiment, mit dem sich nachweisen lässt, dass elektrische Ströme Magnetfelder erzeugen.

b)

Der Tokamak ist eine Bauart von Fusionsreaktoren, die derzeit entwickelt wird; auch der ITER gehört dazu. Das heiße Deuterium-Tritium-Gasgemisch wird dabei von Magnetfeldern durchdrungen, was Abbildung 4 schematisch zeigt.

Durch das Magnetfeld bewegen sich die Deuterium- und Tritiumkerne des Gasgemischs auf Schraubenbahnen um die Magnetfeldlinien, in Abbildung 5 für ein Teilchen gezeigt. Man nimmt an, dass das Magnetfeld in einem kleinen Bereich näherungsweise homogen ist. Eine Schraubenbahn entsteht, wenn sich eine Kreisbewegung mit einer dazu senkrechten gleichförmigen Bewegung überlagert.

Die Schraubenbahn in Abbildung 5 ist eine Kurve im dreidimensionalen Raum. Die Geschwindigkeit $v$ eines Deuterium- oder Tritiumkerns kann in eine Komponente parallel zum Magnetfeld $v_\parallel$ und eine Komponente senkrecht dazu $v_\perp$ zerlegt werden.

Erläutern Sie anhand der Zerlegung der Geschwindigkeit $v$ eines Deuterium- oder Tritiumkerns in Komponenten, weshalb ein Teilchen die in Abbildung 5 dargestellte Schraubenbahn durchläuft.

Der Radius $r_\mathrm{S}$ dieser Schraubenbahn der Teilchen im Fusionsreaktor ergibt sich aus $r_\mathrm{S} = \frac{m \cdot v_\perp}{q \cdot B}$ (ohne Nachweis). Hierbei bezeichnet $B$ die Magnetfeldstärke, $m$ die Teilchenmasse und $q$ die Ladung.

Berechnen Sie den Radius $r_\mathrm{S}$ der Schraubenbahn eines Tritiumkerns ($m_\mathrm{T} = 3{,}02\text{ u}$) bei einer Magnetfeldstärke von $B = 5{,}30\text{ T}$ und einer Geschwindigkeit von $v_\perp = 8{,}00 \cdot 10^5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Der Tokamak ITER besitzt einen Radius von $r_\mathrm{T} = 6{,}20\text{ m}$ (siehe gestrichelte Linie in Abbildung 4).

Erklären Sie durch einen Vergleich des Schraubenbahnradius $r_\mathrm{S}$ mit dem Tokamak-Radius $r_\mathrm{T}$, dass das Magnetfeld in Abbildung 4 das Deuterium-Tritium-Gasgemisch führt.

[2 + 8 Punkte]

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Kernfusionsreaktoren

Wenn Fusionsreaktoren und ihre Technik weiter erforscht und optimiert werden, könnten sie künftig eine Alternative zu den bisher üblichen Energieträgern darstellen. Der ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) in Südfrankreich, der in den Abbildungen 1 und 2 dargestellt ist, ist ein Beispiel für einen solchen Reaktor. Um zu verstehen, wie Fusionsreaktoren funktionieren, spielen elektrische und magnetische Felder eine zentrale Rolle.

Teilaufgabe 4: Quantenphysikalische Betrachtung der Kernfusion

Dass eine Fusion letztendlich stattfinden kann, lässt sich nur mithilfe der Quantenphysik erklären.

Die potentielle Energie von zwei Teilchen der Ladung $q$ und $Q$ lässt sich mittels $E_{\text{pot}} = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{a_{\text{K}}}$ in Abhängigkeit vom Abstand $a_{\text{K}}$ berechnen (siehe Abbildung 6), wobei $\varepsilon_0$ wieder die elektrische Feldkonstante ist.

Damit es zur Fusion kommt, müssen die Kerne bis auf einen Abstand von $a_{\text{K}} = 3{,}8 \cdot 10^{-15}\text{ m}$ aneinander herankommen.

a)

• Beschreiben Sie anhand von Abbildung 6 den Verlauf der potentiellen Energie $E_{\text{pot}}$ eines Tritium- und eines Deuteriumkerns in Abhängigkeit vom Abstand $a_{\text{K}}$.

• Berechnen Sie in eV den Maximalwert der potentiellen Energie $E_{\text{pot,max}}$ zwischen einem Tritium- und einem Deuteriumkern.

b)

Einige wenige Teilchen können deutlich höhere kinetische Energien als $E_{\text{kin}} = 13\text{ keV}$ erreichen, welche immer noch unterhalb des Maximums der potentiellen Energie liegen. Dies ist in Abbildung 6 durch die gestrichelte Linie mit der Bezeichnung $E_{\text{kin*}}$ beispielhaft dargestellt. Man kann den Aufenthaltsort von Teilchen in der Quantenphysik mittels des Betragsquadrats der Wellenfunktion, wie in Abbildung 7 und 8 dargestellt, bestimmen.

Im Bereich zwischen den gestrichelten Linien liegt die kinetische Energie der Teilchen unter ihrer gegenseitigen potentiellen Energie.

• Erklären Sie allgemein, was das Betragsquadrat $|\psi|^2$ der Wellenfunktion für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Quantenobjekts bedeutet.

• Erklären Sie anhand von Abbildung 7, weshalb bei einer kinetischen Energie von $E_{\text{kin}} = 13\text{ keV}$ keine Kernfusion möglich ist.

• Erläutern Sie unter Bezugnahme auf Abbildung 8, dass bei ausreichend großer kinetischer Energie $E_{\text{kin*}}$ eine Kernfusion erfolgen kann.