Abitur NRW Physik 2023 · GK · Nachtermin

Aufgabe: Das Zyklotron

Bei der Behandlung von Tumoren kommt die Strahlentherapie zum Einsatz. Dabei soll ionisierende Teilchenstrahlung das Tumorgewebe abtöten. Dazu müssen ionisierte Teilchen vorab auf große Geschwindigkeiten gebracht werden. Die Beschleunigung erfolgt in diesem Fall in einem Zyklotron (siehe Abbildung 1).

Teilaufgabe 1: Aufbau und Funktionsweise

Abbildung 2 zeigt schematisch, wie ein Zyklotron aufgebaut ist.

a)

Die beiden speziell geformten Elektroden werden Duanten genannt und sind hier mit $D_1$ und $D_2$ bezeichnet.

• Beschreiben Sie, wie ein Zyklotron aufgebaut ist, und gehen Sie dabei besonders darauf ein, wo das homogene elektrische Feld und die beiden homogenen magnetischen Felder wirken.

b)

Gemäß Abbildung 3 befindet sich im Punkt Q eine Quelle, die Protonen mit der Anfangsgeschwindigkeit $v = 0$ liefert.

Der Duant $D_1$ ist negativ und $D_2$ entsprechend positiv geladen. Die hierzu angelegte Spannung $U$ wird zunächst nicht verändert. Bei einer bestimmten Stärke $B$ des magnetischen Feldes ergibt sich die in Abbildung 3 dargestellte Bahnkurve eines Protons.

Zur Vereinfachung wird im Folgenden angenommen, dass die Breite des Spalts zwischen den Duanten klein gegenüber dem Durchmesser der Duanten ist.

• Erläutern Sie die Bewegung eines Protons bis zum Erreichen des Punktes $P_3$ in ihren verschiedenen Phasen.

• Begründen Sie, warum für den Betrieb des Zyklotrons eine Umpolung der Spannung $U$ notwendig ist, sobald sich das Proton zum ersten Mal im Inneren von $D_1$ befindet.

c)

Beim Betrieb des Zyklotrons wird die zwischen den Duanten anliegende Spannung immer dann umgepolt, wenn sich das Proton im Inneren eines Duanten befindet.

• Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Weg des Protons bis zu seinem ersten Verlassen von $D_2$.

• Erläutern Sie die in Ihrer Skizze gezeigte Bewegung des Protons ab $P_2$.

Teilaufgabe 2: Geschwindigkeitsbetrachtungen

Eines der ersten Zyklotrone wurde im Jahre 1932 vorgestellt. Hier konnten Protonen bei einem maximalen Bahnradius von $r_{\text{max}} = 11{,}5\text{ cm}$ und einer maximalen Stärke des magnetischen Feldes von $B = 1{,}4\text{ T}$ nach $n = 150$ Durchgängen zwischen den Duanten auf eine bisher nie erreichte kinetische Energie von $W_{\text{kin}} = 1{,}2\text{ MeV}$ beschleunigt werden.

a)

Die Elementarladung wird mit $e$ bezeichnet.

• Begründen Sie die Aussage, dass die kinetische Energie eines Protons bei jedem Durchgang durch den Spalt zwischen den Duanten um den Betrag $\Delta W_{\text{kin}} = e \cdot U$ zunimmt.

• Bestimmen Sie den Wert der Spannung $U$.

b)

Die Protonenmasse wird mit $m_p$ bezeichnet.

• Begründen Sie mithilfe eines energetischen Ansatzes die Gleichung $v = \sqrt{\frac{2 \cdot n \cdot e \cdot U}{m_p}}$ für die Geschwindigkeit des Protons nach $n$ Durchgängen durch den Spalt.

Die Protonenmasse beträgt $m_p = 1{,}673 \cdot 10^{-27}\text{ kg}$.

• Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $v$ des Protons als Vielfaches der Lichtgeschwindigkeit $c$.

Zwischenergebnis zum Weiterrechnen: $v = 1{,}5 \cdot 10^7\text{ m/s}$

• Prüfen Sie mithilfe einer Einheitenrechnung die Maßeinheit der Geschwindigkeit $v$ in der angegebenen Gleichung.

c)

• Leiten Sie mit einem geeigneten Kraftansatz die Gleichung $r = \frac{m_p \cdot v}{e \cdot B}$ für den Radius der Kreisbahn des Protons in einem Duanten her.

Im Folgenden wird der Radius nach $k$ Durchgängen durch den Spalt zwischen den Duanten mit $r_k$ bezeichnet.

• Zeigen Sie mithilfe der Gleichung für die Geschwindigkeit in Aufgabenteil b), dass das Verhältnis der Bahnradien durch die Gleichung $\frac{r_{k+1}}{r_k} = \sqrt{\frac{k+1}{k}}$ bestimmt wird.

d)

Bei einer modernen Protonentherapie werden Geschwindigkeiten von bis zu $60\,\%$ der Lichtgeschwindigkeit erreicht. Für solche Geschwindigkeiten sind relativistische Effekte zu berücksichtigen. Relativistisch erhält man für die Geschwindigkeit $v$ des Protons die folgende Gleichung (ohne Nachweis):

$$v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{n \cdot e \cdot U}{E_0}\right)^2}}$$

Hierbei bezeichnet $E_0$ die Ruheenergie des Protons.

• Berechnen Sie die Ruheenergie $E_0$ eines Protons in der Einheit $\text{MeV}$.

• Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass relativistische Effekte bei den Geschwindigkeiten der Protonen im Zyklotron von 1932 vernachlässigt werden konnten.

Teilaufgabe 3: Synchro-Zyklotron

Das bisher betrachtete Zyklotron ohne Berücksichtigung relativistischer Effekte funktioniert nur bei Geschwindigkeiten von $v < 0{,}1 \cdot c$. Dies hängt mit der Frequenz der umlaufenden Protonen zusammen und soll im Folgenden näher untersucht werden.

a)

• Zeigen Sie, dass für die Dauer, mit der ein Proton jeweils einmal vollständig durch einen Duanten läuft, ohne Berücksichtigung relativistischer Effekte die Gleichung $t_D = \frac{\pi \cdot m_p}{e \cdot B}$ gilt.

b)

Die Aufenthaltsdauer eines Protons in den Duanten ist somit unabhängig vom Bahnradius und der Geschwindigkeit des Protons. Zudem wird angenommen, dass die Aufenthaltsdauer im Spalt vernachlässigt werden kann.

Um die Geschwindigkeit des Protons schrittweise erhöhen zu können, wird an die Duanten eine Wechselspannung $U$ mit einer konstanten Frequenz $f$ angelegt.

• Erklären Sie die Verwendung einer konstanten Frequenz $f$.

• Begründen Sie, dass die Frequenz gemäß der Gleichung $f = \frac{1}{2 \cdot t_D}$ gewählt werden muss.

c)

Ein Zyklotron, das Protonengeschwindigkeiten von $v > 0{,}1 \cdot c$ berücksichtigt, wird Synchro-Zyklotron genannt. Bei diesen Geschwindigkeiten bleibt die Aufenthaltsdauer der Protonen in den Duanten nicht mehr konstant, sodass die Frequenz $f$ der Wechselspannung $U$ angepasst werden muss.

• Geben Sie die Gleichung für die dynamische Masse $m(v)$ eines Protons an, das sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt.

• Berechnen Sie die prozentuale Abweichung der dynamischen Masse des Protons von seiner Ruhemasse bei einer Geschwindigkeit von $v = 0{,}6 \cdot c$.

• Begründen Sie, dass die Frequenz $f$ nach jedem Durchgang durch den Spalt zwischen den Duanten verringert werden muss.

%

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Myokardperfusionsszintigraphie

Die Myokardperfusionsszintigraphie ist eine Untersuchungsmethode (Szintigraphie), bei der die Durchblutung (Perfusion) des Herzmuskels (Myokard) dargestellt werden kann. Bei dieser Untersuchungsmethode wird dem Patienten eine radioaktive Substanz verabreicht.

Teilaufgabe 1: Thallium-201

Bei der Myokardperfusionsszintigraphie kann man das radioaktive Isotop Thallium-201 (Tl-201) verwenden. Thallium-201 entsteht aus dem Bleiisotop Pb-201.

a)

&bull; Geben Sie die Gleichung für den Zerfall von Pb-201 an.

&bull; Erläutern Sie unter Verwendung eines Austauschteilchens, auf welche Weise beim Zerfall von Pb-201 das vom Kern emittierte Positron zustande kommt.

Nach einem β-Zerfall kann zusätzlich γ-Strahlung entstehen.

b)

Erläutern Sie, auf welche Weise im Anschluss an einen β-Zerfall zusätzlich γ-Strahlung auftreten kann.

Das Thallium-201 zerfällt in Quecksilber-201, welches γ-Strahlung emittieren kann. Dabei treten unter anderem γ-Quanten mit der Energie $E_\gamma = 167{,}4\text{ keV}$ auf.

c)

Berechnen Sie die Wellenlänge $\lambda_\gamma$ der γ-Quanten mit der Energie $E_\gamma = 167{,}4\text{ keV}$.

Zur Bestimmung der Halbwertszeit von Thallium-201 führt ein Medizinhersteller eine Messung durch, bei der er die Aktivität einer Thallium-201-Probe über mehrere Stunden misst. Die Aktivität $A = \frac{\Delta N}{\Delta t}$ einer radioaktiven Probe ist definiert als die Anzahl $\Delta N$ der pro Zeiteinheit $\Delta t$ zerfallenen Kerne dieser Probe. Die Aktivität $A(t)$ der Probe in Abhängigkeit von der Zeit $t$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: $$A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}.$$ Dabei sind $A_0$ die Anfangsaktivität und $\lambda$ die Zerfallskonstante.

d)

Zeigen Sie, dass zwischen der Zerfallskonstanten $\lambda$ und der Halbwertszeit $t_{1/2}$ folgender Zusammenhang gilt: $$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}.$$

Die folgende Tabelle 1 stellt die Messwerte des Medizinherstellers dar. Dabei sind die Messwerte bereits um die Nullrate bereinigt.

$t\text{ in h}$ · 0 · 20 · 40 · 60 · 80 · 100 · 120

$A\text{ in MBq}$ · 370 · 310 · 250 · 210 · 180 · 150 · 120

Tabelle 1: Messwerte der Aktivität A von Thallium-201 in Abhängigkeit von der Zeit t

e)

&bull; Zeichnen Sie ein geeignetes $t$-$A$-Diagramm.

&bull; Begründen Sie mithilfe einer graphischen Auswertung aller Messwerte, dass zwischen der Zeit $t$ und der Aktivität $A$ ein exponentieller Zusammenhang besteht.

&bull; Bestimmen Sie mithilfe einer graphischen Auswertung aller Messwerte die Halbwertszeit $t_{1/2}$ von Thallium-201.

Teilaufgabe 2: Umgang mit Thallium-201

Dem Patienten wird das Thallium-201 in Form einer Infusionslösung in den Blutkreislauf verabreicht. Der Hersteller dieser Lösung gibt an, dass das Thallium-201 eine Halbwertszeit von $t_{1/2} = 72{,}9\text{ h}$ hat und dass $2\text{ ml}$ dieser Lösung nach der Herstellung die Anfangsaktivität von $A_0 = 74{,}0\text{ MBq}$ haben.

a)

Die vorgeschriebene Aktivität der Infusionslösung zur Untersuchung eines erwachsenen Patienten beträgt $A = 55{,}5\text{ MBq}$.

&bull; Bestimmen Sie, welches Volumen in Milliliter der frisch hergestellten Infusionslösung dem erwachsenen Patienten verabreicht werden muss.

&bull; Erläutern Sie quantitativ, was zu beachten ist, wenn ein Patient die Infusionslösung 6 Tage nach der Herstellung erhält.

b)

Bei einer Myokardperfusionsszintigraphie ist die Strahlenbelastung für das Herz, die Nieren, die Keimdrüsen und die Schilddrüse besonders hoch. Die folgende Tabelle 2 stellt die Energiedosis der genannten Organe bei einer Untersuchung dar:

Organ · Energiedosis $D_\text{Organ}$

Herz · $5{,}1 \cdot 10^{-3}\text{ }\frac{\text{J}}{\text{kg}}$

Nieren · $2{,}2 \cdot 10^{-2}\text{ }\frac{\text{J}}{\text{kg}}$

Keimdrüsen · $8{,}5 \cdot 10^{-3}\text{ }\frac{\text{J}}{\text{kg}}$

Schilddrüse · $1{,}1 \cdot 10^{-2}\text{ }\frac{\text{J}}{\text{kg}}$

Tabelle 2: Energiedosis der Organe bei einer Myokardperfusionsszintigraphie

&bull; Geben Sie an, was man unter der Energiedosis $D$ versteht.

Die Äquivalentdosis $H$ berücksichtigt die biologische Wirkung ionisierender Strahlung. Dabei gilt $H = w_\text{R} \cdot D$. Der Faktor $w_\text{R}$ ist der Strahlungswichtungsfaktor und kann der folgenden Tabelle 3 entnommen werden:

Strahlungsart · $w_\text{R}$

γ-Strahlung · 1

β-Strahlung · 1

α-Strahlung · 20

Tabelle 3: Strahlungswichtungsfaktoren

&bull; Nennen Sie einen Grund, weshalb der Strahlungswichtungsfaktor von α-Strahlung deutlich größer ist als bei den anderen angegebenen Strahlungsarten.

Die effektive Dosis $E$ berücksichtigt zudem die Empfindlichkeit der Organe mit dem Gewebewichtungsfaktor $w_\text{T}$. Die Tabelle 4 gibt eine Übersicht über die hier relevanten Gewebewichtungsfaktoren:

Organ · $w_\text{T}$

Herz · 0,12

Niere · 0,12

Keimdrüsen · 0,08

Schilddrüse · 0,04

Tabelle 4: Gewebewichtungsfaktoren

Um die effektive Dosis $E$ zu bestimmen, summiert man die Produkte $w_\text{T} \cdot H$ über alle betroffenen Organe.

&bull; Bestimmen Sie die effektive Dosis $E$ der vier belastetsten Organe bei einer Myokardperfusionsszintigraphie.

Die effektive Dosis der natürlichen Strahlenbelastung in Deutschland beträgt etwa $2{,}1\text{ mSv}$ pro Jahr.

&bull; Geben Sie zwei Beispiele für Quellen der natürlichen Strahlenbelastung an.

&bull; Beurteilen Sie die Strahlenbelastung bei einer Myokardperfusionsszintigraphie im Vergleich zur natürlichen Strahlenbelastung von $2{,}1\text{ mSv}$ pro Jahr.

c)

Darüber hinaus ist Thallium auch biochemisch giftig, bereits $800\text{ mg}$ sind lebensbedrohlich. Zwischen der Aktivität $A$, der Anzahl $N$ der zum Zeitpunkt $t$ vorhandenen Kerne eines radioaktiven Präparates und der Zerfallskonstanten $\lambda$ gilt folgender Zusammenhang: $$A(t) = \lambda \cdot N(t).$$

&bull; Berechnen Sie die Anzahl $N(0)$ der zum Zeitpunkt $t = 0$ vorhandenen Tl-201-Atome, wenn die Anfangsaktivität der Infusionslösung $A(0) = 55{,}5\text{ MBq}$ beträgt.

Die Atommasse eines Thallium-201-Atoms beträgt $m = 201\text{ u}$.

&bull; Prüfen Sie, ob die bei einer Myokardperfusionsszintigraphie verwendete Menge an Thallium-201 in der Größenordnung liegt, die für einen Menschen lebensbedrohlich ist.

d)

Neben Thallium-201 kann man auch Technetium-99 verwenden, um eine Myokardperfusionsszintigraphie durchzuführen. Technetium-99 ist ebenfalls ein β-Strahler. Die Energie der für die Untersuchungsmethode relevanten emittierten γ-Quanten ist fast so groß wie die beim Zerfall von Thallium-201. Dennoch ist die effektive Dosis bei einer Untersuchung mit Technetium-99 deutlich geringer als die mit Thallium-201.

Erläutern Sie einen möglichen Grund, weshalb die Strahlenbelastung bei einer Myokardperfusionsszintigraphie mit Technetium-99 deutlich geringer ist als mit Thallium-201.

Aufgabe: Myonen in der Speziellen Relativitätstheorie

Die von Albert Einstein im Jahre 1905 begründete Spezielle Relativitätstheorie (SRT) resultiert in experimentellen Vorhersagen, die nicht nur den Vorhersagen der Newton’schen Mechanik, sondern auch der Alltagserfahrung vielfach widersprechen. Insbesondere bei der Untersuchung hochenergetischer Teilchen, wie etwa Myonen, lassen sich diese experimentellen Vorhersagen eindrucksvoll bestätigen.

Teilaufgabe 1: Zerfall atmosphärischer Myonen

Am Beispiel der atmosphärischen Myonen lassen sich die experimentellen Konsequenzen der SRT untersuchen. Dazu ist ein Verständnis von Zeitdilatation wie auch Längenkontraktion notwendig.

a)

Eine Rakete bewegt sich im Erdbezugssystem mit großer, konstanter Geschwindigkeit $v$ geradlinig vorwärts. Innerhalb der Rakete wird ein Wecker gestartet (Ereignis 1), der nach einer Weile zu klingeln beginnt (Ereignis 2). Auf einer Uhr innerhalb der Rakete soll zwischen beiden Ereignissen die Zeit $\Delta t$ vergehen. Dann vergeht auf einer erdgebundenen Uhr nicht die gleiche Zeit, sondern die Zeit $\Delta t'$, und es gilt $$\Delta t' = \gamma \cdot \Delta t$$ mit dem Dilatationsfaktor $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ Dabei ist $c = 299.792.458\text{ m/s}$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

• Berechnen Sie die Zeit $\Delta t'$ im Erdbezugssystem, wenn auf der Raketenuhr zwischen dem Start und dem Klingeln des Weckers $\Delta t = 10\text{ s}$ vergehen und die Rakete sich mit $v = 0{,}80\,c$ bewegt.

• Berechnen Sie diejenige Geschwindigkeit $v$, bei der sich der Dilatationsfaktor $\gamma = 1{,}25$ ergibt.

• Weisen Sie nach, dass der Dilatationsfaktor für keine Geschwindigkeit $v$ einen Wert unter 1 annimmt.

• Beurteilen Sie, inwieweit sich aus der angegebenen Formel für den Dilatationsfaktor ableiten lässt, ob Geschwindigkeiten oberhalb der Vakuumlichtgeschwindigkeit physikalisch möglich sind.

b)

Im Raketenbezugssystem wird für die Rakete die Länge $\Delta x$ gemessen. Im Erdbezugssystem wird für die Rakete dagegen eine andere Länge $\Delta x'$ gemessen.

• Begründen Sie, weshalb sich die Bezeichnung „Ruhelänge“ für $\Delta x$ eignet, für $\Delta x'$ dagegen nicht.

Es gilt folgender Zusammenhang zwischen $\Delta x$ und $\Delta x'$: $$\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma}$$

• Zeigen Sie mithilfe der Formel, dass die Ruhelänge nie kleiner ausfällt als die Länge, die in einem anderen Bezugssystem gemessen wird.

Die Ruhelänge einer Rakete ist $\Delta x = 100\text{ m}$ und ihre Geschwindigkeit im Erdbezugssystem $v = 0{,}60\,c$.

• Berechnen Sie, welche Länge die Rakete im Erdbezugssystem hat.

c)

C. D. Anderson, S. Neddermeyer sowie J. C. Street und E. C. Stevenson entdeckten in den Jahren 1936/1937 die sogenannten Myonen, den Elektronen verwandte Teilchen. Myonen sind nicht nur massereicher als Elektronen, sondern Myonen sind zudem instabil und besitzen daher eine endliche Halbwertszeit, nämlich $T_{1/2} = 1{,}523 \cdot 10^{-6}\text{ s}$.

• Erläutern Sie, was man unter der Halbwertszeit versteht.

Aufgrund ihrer Instabilität werden von einer anfänglichen Menge von beispielsweise $N_0 = 8 \cdot 10^6$ Myonen nach kurzer Zeit nur noch viel weniger Myonen vorhanden sein.

• Berechnen Sie, nach welcher Zeit nur noch etwa $N = 1 \cdot 10^6$ Myonen übrig sind, wobei alle Myonen als ruhend angenommen werden dürfen.

In den oberen Schichten der Erdatmosphäre entstehen aufgrund der kosmischen Strahlung ständig Myonen, die nach Durchqueren der Atmosphäre mittels Detektoren auf der Erdoberfläche registriert werden können (vgl. Abbildung 1). Diese sogenannten „atmosphärischen Myonen“ eignen sich in besonderer Weise, um die Phänomene der Zeitdilatation und der Längenkontraktion zu verdeutlichen.

Unter der Annahme, dass die zuvor erwähnten $N_0 = 8 \cdot 10^6$ Myonen eine Strecke von $\Delta s = 10\text{ km}$ überwinden müssen (vom Ort der Entstehung in den höheren Schichten der Atmosphäre bis zur Detektion auf der Erdoberfläche), wird die Zahl der am Ende dieses Flugs noch vorhandenen Teilchen von ihrer durchschnittlichen Geschwindigkeit während des Flugs abhängen.

• Berechnen Sie ohne Berücksichtigung relativistischer Effekte, wie viele Myonen den Detektor trotz ihrer Instabilität erreichen, wenn ihre mittlere Fluggeschwindigkeit $v = 0{,}995\,c$ beträgt.

• Geben Sie zusätzlich zur Instabilität der Myonen zwei weitere Gründe dafür an, dass real nicht alle in der oberen Atmosphäre entstandenen Myonen die Erdoberfläche erreichen.

Es erreichen allerdings mehr Myonen die Erdoberfläche, als aufgrund der Halbwertszeit der Myonen nach klassischer Rechnung zu erwarten wären.

• Erklären Sie diese Aussage qualitativ mithilfe der Zeitdilatation.

• Erklären Sie diese Aussage qualitativ mithilfe der Längenkontraktion.

Teilaufgabe 2: Energie-Masse-Äquivalenz

Eine der berühmtesten Formeln der Physikgeschichte ist die von Albert Einstein im Jahre 1905 publizierte Gleichung zur Ruheenergie: $$E = m c^2$$ Dabei ist $E$ die Ruheenergie eines Teilchens, $m$ seine Ruhemasse und $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Eine vollständige Umwandlung von Masse in Energie würde beispielsweise stattfinden, wenn ein Myon mit seinem Antiteilchen, dem „Antimyon“, kollidieren würde. (Beide Teilchen besitzen die gleiche Ruhemasse $m = 1{,}884 \cdot 10^{-28}\text{ kg}$.)

• Berechnen Sie mithilfe der Ruhemassen der beteiligten Teilchen die Energie, die bei dieser Kollision frei wird.

Aufgrund der immensen Größe des Umrechnungsfaktors $c^2$ ist nur eine geringe Masse notwendig, um ein makroskopisch bedeutsames Energieäquivalent zu erhalten.

• Berechnen Sie, welche Masse umgewandelt werden müsste, damit ihr Energieäquivalent dem jährlichen „Gesamtstromverbrauch“ (d. h. dem gesamten Bedarf an elektrischer Energie) pro EU-Einwohner von etwa $6.200\text{ kWh}$ entspricht.

Besondere Bedeutung besitzt die Formel von Einstein für eine Analyse der Energieumwandlung im Rahmen der Kernspaltung und der Kernfusion.

• Begründen Sie, weshalb sich mit Einsteins Formel sowohl bei Kernspaltungs- als auch bei Kernfusionsreaktionen die umgesetzten Energiemengen bestimmen lassen.