Abitur NRW Physik 2023 · GK · Haupttermin

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Teilchen- und Welleneigenschaften von Licht

Teilaufgabe 1: Interferenz am Doppelspalt

In Abbildung 1 ist eine Versuchsanordnung dargestellt, mit der sich Interferenzerscheinungen veranschaulichen lassen, wenn monochromatisches Licht an einem Doppelspalt gebeugt wird.

a)

Nennen Sie die Aussage des Huygens’schen Prinzips.

Erläutern Sie qualitativ, wie das Interferenzbild auf dem Schirm zustande kommt.

b)

Um den Winkel $\alpha_n$ zu bestimmen, unter dem das Minimum $n$-ter Ordnung ($n \ge 1$) auftritt, werden die folgenden Gleichungen benötigt:

Gleichung 1: $\Delta s = n\cdot \lambda - 0{,}5\cdot \lambda$

Gleichung 2: $g\cdot \sin(\alpha_n) = \Delta s$

Gleichung 3: $\tan(\alpha_n) = \frac{d_n}{a}$

Hierbei steht $\Delta s$ für den Gangunterschied, $\lambda$ für die Wellenlänge des Lichts, $a$ für den Abstand von Doppelspalt und Schirm, $g$ für den Abstand der Spaltmitten und $d_n$ für den Abstand des Minimums $n$-ter Ordnung zum Maximum nullter Ordnung.

Erläutern Sie, was Gleichung 1 für das Zustandekommen des Minimums $n$-ter Ordnung bedeutet.

Mithilfe der Skizze in Abbildung 2 lässt sich Gleichung 2 herleiten.

Gleichung 2 ist nur gültig, wenn der Spaltmittenabstand $g$ deutlich kleiner ist als der Abstand $a$ zwischen Doppelspalt und Schirm.

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, warum diese Voraussetzung für die Gültigkeit von Gleichung 2 erforderlich ist.

c)

Für den im Experiment eingesetzten Laser gilt $\lambda = 537\text{ nm}$. Der Doppelspalt ist $a = 2{,}5\text{ m}$ vom Schirm entfernt, der Spaltmittenabstand beträgt $g = 0{,}10\text{ mm}$. Abbildung 3 zeigt ein Foto des Schirmbildes mit einer unvollständigen Längenskala.

Ermitteln Sie unter Verwendung der Gleichungen aus Aufgabenteil b) den Skalenwert in $\text{cm}$ an der mit A gekennzeichneten Stelle.

Man kann den Versuchsaufbau so verändern, dass an der mit A gekennzeichneten Stelle statt eines Minimums ein Maximum liegt.

Beschreiben Sie qualitativ zwei grundsätzlich verschiedene Veränderungen des Versuchsaufbaus, durch die dies erreicht wird.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Teilchen- und Welleneigenschaften von Licht

Teilaufgabe 1: Interferenz am Doppelspalt

In Abbildung 1 ist eine Versuchsanordnung dargestellt, mit der sich Interferenzerscheinungen veranschaulichen lassen, wenn monochromatisches Licht an einem Doppelspalt gebeugt wird.

d) Bei einem weiteren Versuch wird die Intensität des Laserlichts deutlich reduziert, indem Absorber zwischen Laser und Doppelspalt in den Strahlengang gestellt werden. In Abbildung 4 sind Aufnahmen des Schirmbildes bei jeweils verschieden vielen Absorbern dargestellt.

•

Beschreiben Sie die Schirmbilder in Abbildung 4, die mit Absorbern aufgenommen wurden.

•

Erläutern Sie anhand von Abbildung 4, dass sich Licht nicht allein durch ein klassisches Wellenmodell und nicht allein durch ein klassisches Teilchenmodell beschreiben lässt.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Teilchen- und Welleneigenschaften von Licht

Teilaufgabe 1: Interferenz am Doppelspalt

In Abbildung 1 ist eine Versuchsanordnung dargestellt, mit der sich Interferenzerscheinungen veranschaulichen lassen, wenn monochromatisches Licht an einem Doppelspalt gebeugt wird.

Teilaufgabe 2: Der Photoeffekt

a)

In Abbildung 5 ist ein Versuchsaufbau dargestellt, mit dem sich der Photoeffekt qualitativ vorführen lässt.

Das Licht der Quecksilberdampflampe trifft auf die gesamte Zinkplatte. Zinkplatte und Anode sind durch eine Spannungsquelle und ein Stromstärkemessgerät elektrisch leitend miteinander verbunden. Anfangs befindet sich keine Glasplatte im Strahlengang zwischen Quecksilberdampflampe und Anode.

Nun wird die Quecksilberdampflampe näher an die Anode gerückt; die Zinkplatte bleibt dabei vollständig beleuchtet.

Stellt man die Glasplatte zwischen Quecksilberdampflampe und Anode, lässt sich kein elektrischer Strom mehr messen.

b)

Unter anderem die Gleichung $E = h \cdot f$ beschreibt den Teilchencharakter des Lichts; dabei steht $E$ für die Photonenenergie, $h$ für das Planck’sche Wirkungsquantum und $f$ für die Lichtfrequenz.

c)

In Abbildung 6 ist ein Teil des Emissionsspektrums von Quecksilber dargestellt. Spektrallinien, deren Intensität nicht vernachlässigbar ist, sind durch Buchstaben gekennzeichnet.

Die Auslöseenergie von Zink beträgt $E_\mathrm{A} = 4{,}34\text{ eV}$.

d)

Der Photoeffekt lässt sich mit einer Photozelle quantitativ untersuchen. Hierfür liegt zwischen Kathode und Anode eine Gegenspannung $U_\mathrm{G}$ an, und der Photostrom $I_\mathrm{Ph}$ wird gemessen. Abbildung 7 stellt eine Photozelle schematisch dar.

In Abbildung 8 ist für zwei verschiedene monochromatische Lichtquellen und ein bestimmtes Kathodenmaterial aufgetragen, wie der Photostrom von der Gegenspannung abhängt.

Beide Lichtquellen A und B senden pro Sekunde dieselbe Strahlungsenergie aus. Beim Photoeffekt setzt nicht zwingend jedes Photon ein Elektron frei.

Aufgabe: Eigenschaften und Anwendungen des radioaktiven Isotops 32 P

Das chemische Element Phosphor kommt in mehreren Erscheinungsformen und vielen mineralischen Verbindungen in der Natur vor. Zudem ist Phosphor neben anderen Elementen einer der Grundbausteine für den Aufbau des DNA-Moleküls, und kommt zudem in vielen weiteren biologisch relevanten Molekülen vor. Das radioaktive Phosphorisotop 32 P ist durch seine Strahlung messbar und bietet sich daher an, biologische Stoffwechselprozesse auf molekularer Ebene experimentell zu untersuchen.

Teilaufgabe 1: Eigenschaften des Isotops 32 P

Phosphor ist mit der Ordnungszahl $Z = 15$ in das Periodensystem der Elemente eingeordnet. Im Zuge der kernphysikalischen Untersuchungen aller Elemente zeigte sich, dass in der Natur lediglich ein stabiles Phosphorisotop vorkommt. Abbildung 1 zeigt den entsprechenden Ausschnitt der Nuklidkarte.

a)

Geben Sie die Zahl der Protonen und der Neutronen im Kern des natürlich vorkommenden stabilen Phosphorisotops an. [2 Punkte]

Im Weiteren geht es um die Eigenschaften des radioaktiven Phosphorisotops 32 P.

b)

Das Phosphorisotop 32 P wandelt sich durch einen $\beta^-$-Zerfall um.

Bei den allermeisten instabilen Nukliden, die sich durch einen $\beta$-Zerfall umwandeln, entsteht zusätzlich noch $\gamma$-Strahlung.

Wenn man für wissenschaftliche Untersuchungen das Phosphorisotop 32 P benötigt, dann muss man es dazu im Labor künstlich herstellen. Diese Herstellung erfolgt, indem die stabilen Nuklide 32 S oder 35 Cl mit Neutronen bestrahlt werden. In beiden Fällen findet jeweils eine Kernreaktion statt, bei der ein 32 P-Kern sowie ein weiteres Teilchen entsteht.

Geben Sie für jedes der beiden stabilen Nuklide an, welches Teilchen neben dem 32 P-Kern bei der jeweiligen Kernreaktion zusätzlich entsteht: [3 Punkte]

c)

Ein Nachweis auch kleiner Mengen des Phosphorisotops 32 P ist durch die Messung der beim $\beta^-$-Zerfall dieses Kerns entstehenden ionisierenden Strahlung möglich. Eine solche Messung der ionisierenden Strahlung erfolgt im einfachsten Fall mit einem Geiger-Müller-Zählrohr (GM-Zähler). Abbildung 2 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines GM-Zählers.

d)

Der GM-Zähler ist im Prinzip für alle Arten ionisierender Strahlung geeignet, jedoch gibt es bei der Nachweisempfindlichkeit je nach Strahlungsart große Unterschiede. Die Ionisierungsfähigkeit von $\alpha$-, $\beta$- und $\gamma$-Strahlung in einem gegebenen Gasvolumen verhält sich bei gleicher Strahlungsintensität ungefähr wie $10^4: 10^2: 1$.

Obwohl $\alpha$-Strahlung die größte Ionisierungsfähigkeit in Gas besitzt, kann mit üblichen GM-Zählern nur ein sehr geringer Anteil der von außen auf den Zähler treffenden $\alpha$-Strahlung tatsächlich nachgewiesen werden.

Teilaufgabe 2: Zerfallseigenschaften des 32 P

Während ein GM-Zähler nur einen kleinen Teil der einfallenden ionisierenden Strahlung nachweisen kann, sind andere Detektortypen erheblich empfindlicher und werden heute in wissenschaftlichen Laborgeräten verwendet.

a)

Von einer speziellen Labormessapparatur für $\beta^-$-Strahler ist bekannt, dass sie einen Anteil von $w = 2{,}70\,\%$ aller $\beta^-$-Zerfallsereignisse in einer Probe registriert.

In diese Labormessapparatur wird nun ein Präparat mit einer unbekannten Menge 32 P eingebracht. Außer dem Phosphorisotop 32 P befindet sich kein weiteres radioaktives Nuklid in der Probe. Für eine Messzeit von jeweils $\Delta t_{\text{mess}} = 4{,}00\,\text{s}$ wird nun kurz hintereinander von dieser Messapparatur die Anzahl der registrierten $\beta^-$-Zerfallsereignisse dieser Probe ermittelt. Es ergeben sich die folgenden, bereits untergrundkorrigierten Messwerte:

Messung mit Probe

1

2

3

4

registrierte Ereignisse

74863

74630

75003

74761

Hinweis: Nehmen Sie an, dass die Aktivität der Probe während der vier Messungen konstant blieb.

Es ist bekannt, dass in $m = 1{,}00\,\text{mg}$ reinem 32 P in $\Delta t = 1{,}00\,\text{s}$ insgesamt $n = 1{,}06\cdot 10^{13}$ Zerfälle stattfinden, diese Menge 32 P demnach die Aktivität $A = 1{,}06\cdot 10^{13}\,\text{Bq}$ besitzt.

wobei $1\,\text{pg} = 1\cdot 10^{-12}\,\text{g}$ ist.

b)

In den folgenden Wochen wurde regelmäßig die Aktivität der Probe aus Teilaufgabe 2a) mit der beschriebenen Labormessapparatur bestimmt. Abbildung 3 zeigt den zeitlichen Verlauf der Messwerte.

Bestimmen Sie aus den Messwerten in Abbildung 3 die Halbwertszeit des Phosphorisotops 32 P in Tagen und Stunden: [3 Punkte]

h

c)

Eine genaue Auswertung ergibt, dass die Halbwertszeit des Phosphorisotops 32 P $T_{1/2} = 1{,}235\cdot 10^6\,\text{s}$ beträgt.

Die Nachweisgrenze der Laborapparatur aus Teilaufgabe 2a) für $\beta^-$-Strahlung ist dann erreicht, wenn die Aktivität einer Messprobe in die Größenordnung $A \approx 1\cdot 10^2\,\text{Bq}$ kommt.

Teilaufgabe 3: Einsatz des 32 P als Marker in der Nutzpflanzenforschung

Das Element Phosphor ist in Form von Phosphat ein wesentlicher Bestandteil von Düngemitteln. Bei der Bewertung neugezüchteter Nutzpflanzen ist deren Aufnahme der Nährstoffe aus Düngemitteln ein wichtiges Kriterium. Das radioaktive Phosphorisotop 32 P eignet sich dabei gut für die Untersuchung dieser Eigenschaft der Pflanzen. Dazu wird einem Kunstdünger im Produktionsprozess ein kleiner Anteil des radioaktiven Phosphorisotops 32 P hinzugefügt. Dieser radioaktiv markierte Kunstdünger hat ansonsten identische Eigenschaften wie das übliche Produkt.

Die Eigenschaft „Nährstoffaufnahme“ zweier neugezüchteter Gerstensorten (Sorte A und Sorte B) wird mit dem folgenden Vorgehen vergleichend untersucht:

Eine identische Anzahl von Pflanzen beider Gerstensorten werden in einem Gewächshaus unter kontrollierten Bedingungen angebaut. Die Nährstoffaufnahme aus dem Boden hängt bei Pflanzen von den Einflussfaktoren Bodenbeschaffenheit, Wasserzufuhr, Temperatur und den Lichtverhältnissen ab.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt $t = 0$ der Wachstumsphase wird dem Boden beider Gerstenarten einmalig die gleiche Menge des mit 32 P radioaktiv markierten Düngers zugeführt. Vor der Zuführung des Düngers und dann $\Delta t = 7\,\text{d}$ nach Düngung werden Proben aus einem definierten Wurzelbereich beider Gerstensorten entnommen und deren $\beta^-$-Aktivität mit dem Labormessgerät aus Teilaufgabe 2 bestimmt.

a)

b)

c)

d)

Eine der beiden Gerstensorten ist dann zu bevorzugen, wenn sie aus dem Dünger unter gleichen Bedingungen mindestens $15\,\%$ mehr Phosphor aufnimmt als die andere Sorte.

Untersuchen Sie mithilfe der Messdaten, ob eine der beiden Gerstensorten zu bevorzugen ist.

Hinweis: Beziehen Sie die unterschiedliche Masse der Proben in Ihre Untersuchung mit ein. [6 Punkte]

%

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Zeitdilatation am Beispiel der Lichtuhr

Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) wurde im Jahre 1905 von Albert Einstein begründet, insbesondere um verschiedene Phänomene im Bereich des Elektromagnetismus zu erklären. Die SRT hat weitreichende Konsequenzen für die gesamte Physik, auch im Bereich der Kinematik. Zu diesen Konsequenzen gehört die sogenannte „Zeitdilatation“.

Teilaufgabe 1: Gedankenexperiment „Lichtuhr“

a)

Beim Erkenntnisgewinn wird in der SRT häufig auf Realexperimente verzichtet.

• Erläutern Sie den Grund dafür, dass in der SRT oft keine Realexperimente herangezogen werden.

Das Phänomen der relativistischen Zeitdilatation kann mittels der sogenannten „Lichtuhr“, eines sogenannten „Gedankenexperiments“, illustriert werden.

Die hier vorgestellte Lichtuhr besteht aus zwei planparallelen Spiegeln mit festem Abstand $L$ und einer im Bezugssystem der Spiegel ruhenden Uhr als Zeitmessgerät. Licht bewegt sich zwischen den beiden Spiegeln hin und her, und die Uhr wird genutzt, um die Laufzeiten des Lichts zwischen den Spiegeln im Ruhebezugssystem zu messen (siehe Abbildung 1 (links)).

• Berechnen Sie für $L = 6 \cdot 10^6\text{ m}$ die Zeit $T$, die das Licht für den Weg von einem Spiegel zum anderen braucht.

Hinweis: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt etwa $c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}$.

In einem zweiten Bezugssystem sollen sich die beiden Spiegel geradlinig gleichförmig in der gleichen Richtung und mit der gleichen Geschwindigkeit $v$ bewegen. (Diese Bewegungsrichtung soll aus Sicht des ersten Bezugssystems senkrecht zur Bewegungsrichtung des Lichtstrahls verlaufen.) In diesem zweiten Bezugssystem bilden die Hin- und Rückwege des Lichts eine Zickzacklinie (siehe Abbildung 1 (rechts)).

• Erklären Sie, weshalb der Spiegelabstand $L$ in beiden Bezugssystemen übereinstimmt, obwohl Längen in der SRT relativ sind.

Im zweiten Bezugssystem besitzt jedoch der Lichtweg zwischen den Spiegeln nicht die Länge $L$ (wofür das Licht die Zeit $T$ benötigen würde), sondern die Länge $L'$ (wofür es die Zeit $T'$ benötigt), da sich die Spiegel in diesem Bezugssystem in Bewegung befinden (siehe Abbildung 2).

Die Größen $L, T, L', T'$ und $v$ erfüllen die folgenden Gleichungen:

$$(L')^2 = L^2 + (vT')^2 \qquad L = cT \qquad L' = cT'$$

• Begründen Sie anhand von Abbildung 2, dass die linke Gleichung gilt.

Die beiden anderen Gleichungen lassen (auch ohne Rechnung) erkennen, dass das Einsteinsche Postulat der „Konstanz der Lichtgeschwindigkeit“ vorausgesetzt wird.

• Begründen Sie diese Feststellung.

b)

Ausgehend von diesen drei Gleichungen lässt sich mit einigen Umformungen die folgende Formel der Zeitdilatation ableiten:

$$T' = \frac{T}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Ist somit eine Zeit $T$ im Ruhebezugssystem der Lichtuhr gegeben, lässt sich die Zeit $T'$ in einem Bezugssystem berechnen, das sich relativ zum Ruhebezugssystem mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt.

• Berechnen Sie $T'$ für $T = 100\text{ s}$ und $v = 0{,}80\text{ c}$.

• Zeigen Sie an einem Beispiel, dass bei hinreichend kleinen Geschwindigkeiten näherungsweise $T = T'$ gilt.

• Begründen Sie, dass $T'$ bei jeder Geschwindigkeit $v$ mindestens so groß wie $T$ ist.

Teilaufgabe 2: Zeitdilatation und Längenkontraktion in der SRT

a)

Auf einer im Ruhebezugssystem einer Raumstation unbewegten Uhr sollen $2{,}0\text{ Minuten}$ vergehen (siehe Abbildung 3). Aus Sicht des Ruhebezugssystems einer Rakete, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit $v$ relativ zur Raumstation bewegt, sollen währenddessen $4{,}0\text{ Minuten}$ vergehen.

• Berechnen Sie die Relativgeschwindigkeit $v$.

Die Geschwindigkeit soll nun weiterhin $v$ betragen, allerdings sollen nun, anders als zuvor, auf einer im Ruhebezugssystem der Rakete ruhenden Uhr $4{,}0\text{ Minuten}$ vergehen (siehe Abbildung 4).

• Entscheiden Sie mithilfe der folgenden Alternativen, welche Zeit in der Zwischenzeit aus Sicht der Raumstation (d. h. in deren Ruhebezugssystem) vergeht:

Es wird nun angenommen, dass die beiden Uhren (die relativ zur Raumstation ruhende Uhr und die relativ zur Rakete ruhende Uhr) gerade in dem einen Moment auf „0:00 Uhr“ stehen, in dem die Rakete die Raumstation passiert. Dann werden etwas später, in beiden Bezugssystemen in unterschiedlicher Reihenfolge, beide Uhren sukzessive auf „0:01 Uhr“ umspringen.

• Beurteilen Sie, welche der beiden Uhren aus Sicht der Rakete zuerst auf „0:01 Uhr“ umspringt.

b)

Neben der Zeitdilatation ist die Längenkontraktion eine weitere, für die Kinematik bedeutsame Konsequenz der SRT.

Wird beispielsweise die Entfernung zwischen vorderem und hinterem Ende der Rakete gemessen, so ergibt sich im Ruhebezugssystem der Rakete die sogenannte Ruhelänge $\Delta x$. Im Ruhebezugssystem der Raumstation dagegen wird zwischen vorderem und hinterem Ende der Rakete eine kürzere Länge $\Delta x'$ gemessen.

• Entscheiden Sie, welche der folgenden Formeln die Beziehung zwischen $\Delta x$ und $\Delta x'$ physikalisch richtig beschreibt:

Die Ruhelänge der Rakete soll $\Delta x = 50\text{ m}$ und die Geschwindigkeit $v = 0{,}95\text{ c}$ betragen.

• Berechnen Sie die Länge $\Delta x'$ der Rakete, die im Bezugssystem der Raumstation gemessen wird.

Es wird nun angenommen, dass die Rakete von Beginn an in der entgegengesetzten Richtung geflogen ist.

• Erläutern Sie, wie sich diese Annahme auf die Stärke der Längenkontraktion auswirkt.

Teilaufgabe 3: Zeitdilatation in der Technik

Erkenntnisse der SRT sind nicht nur bei klassischen Realexperimenten zu berücksichtigen, etwa beim Verständnis verschiedener Experimente mit Teilchenbeschleunigern, sondern auch bei komplexen technischen Systemen wie etwa Satellitennavigationssystemen.

•

Geben Sie zwei weitere Realexperimente an, bei deren Deutung Ergebnisse der SRT beachtet werden müssen.

Bei modernen Navigationssystemen wie beispielsweise GPS werden Funksignale zwischen Navigationsgerät (etwa im Auto oder Flugzeug) und mindestens drei im Erdorbit befindlichen Satelliten (für die drei Raumkoordinaten x, y und z) ausgetauscht (von den Satelliten in Richtung des Navigationsgeräts). Die Signallaufzeiten dienen als Navigationsgrundlage.

•

Erklären Sie qualitativ, weshalb solche Navigationssysteme die Zeitdilatation zwingend einbeziehen müssen.

Die für das Navigationssystem GPS notwendige zeitliche Genauigkeit wird innerhalb der Satelliten durch hochpräzise Atomuhren sichergestellt. Das GPS-Gerät des Empfängers (das sich beispielsweise in einem Auto befindet) verfügt in der Regel jedoch über keine Atomuhr zur präzisen Zeitmessung.

•

Stellen Sie dar, warum die Signale von vier statt drei GPS-Satelliten genauere Zeitmessungen am Empfängerort erlauben.