Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2018

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion $K: x \mapsto x^3 - 12x^2 + 50x + 20$ mit $x \in [0; 9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $K$.

Die Funktion $E$ mit $E(x) = 23x$ gibt für $0 \le x \le 9$ den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x) = E(x) - K(x)$. Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

a

Geben Sie mithilfe von Abbildung 3 die Produktionsmenge an, bei der die Kosten 125 000 Euro betragen.

b

Geben Sie das Monotonieverhalten von $K$ an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.

c

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Je größer die Produktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produktion eines zusätzlichen Kubikmeters der Flüssigkeit verursacht.

d

Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.

e

Zeichnen Sie den Graphen von $E$ in Abbildung 3 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.