Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2025 · Juny Serie 4

Exercici 1

Considereu la funció $f(x)=+\sqrt{1+x^3}$.

a)

Indiqueu el domini d'aquesta funció i els talls de la corba $y=f(x)$ amb els eixos de coordenades.

[0,5 punts]

Exercici 1

Considereu la funció $f(x)=+\sqrt{1+x^3}$.

b)

Resoleu l'equació $f'(x)=0$ i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció $f(x)$, així com els seus màxims i mínims locals. [1 punt]

$x =$

c)

Trobeu quin ha de ser el valor de $a$ per tal que el punt $(a, 3)$ pertanyi a la gràfica de la funció i calculeu l'equació de la recta tangent a la corba $y=f(x)$ en aquest punt. [1 punt]

$a =$

Exercici 2

Considereu el sistema d'equacions

$$\left.\begin{aligned} x + 3y + az &= 1 \\ -2x - 6y + 2z &= 2a \\ ax + 3y + z &= 3 \end{aligned}\right\}$$ on $a$ és un paràmetre real, i siguin $\pi_1$ el pla determinat per la primera equació, $\pi_2$ el determinat per la segona, i $\pi_3$ el determinat per la tercera.

a)

Discutiu el sistema en funció del valor de $a$.

Tipus de sistema segons els valors de $a$:

Cas

Tipus de sistema

Si $a \neq 1$ i $a \neq -1$

Si $a = 1$

Si $a = -1$

Exercici 2

Considereu el sistema d'equacions

$$\left.\begin{aligned} x + 3y + az &= 1 \\ -2x - 6y + 2z &= 2a \\ ax + 3y + z &= 3 \end{aligned}\right\}$$ on $a$ és un paràmetre real, i siguin $\pi_1$ el pla determinat per la primera equació, $\pi_2$ el determinat per la segona, i $\pi_3$ el determinat per la tercera.

b)

Descriviu la posició relativa dels tres plans $\pi_1$, $\pi_2$ i $\pi_3$ en funció del valor de $a$. [0,75 punts]

c)

En algun cas la intersecció dels tres plans és una recta? En cas afirmatiu, digueu per a quin valor del paràmetre, i doneu un vector director i un punt d'aquesta recta. [0,75 punts]

(

,

,

)

(

,

,

)

Exercici 3

Un usuari d'Internet ha estimat que el 25 % dels correus electrònics que rep són correu brossa, mentre que la resta no ho són. Per a facilitar la classificació del correu, s'ha instal·lat un filtre que envia a la carpeta de correu brossa el 95 % dels missatges que efectivament ho són. Malauradament, aquest filtre deixa a la safata d'entrada només el 90 % dels missatges bons (i la resta els envia a la carpeta de correu brossa).

a)

Quina és la probabilitat que un missatge sigui enviat pel filtre a la carpeta de correu brossa? [0,75 punts]

b)

Un dia, aquest usuari obre la carpeta de correu brossa. Quin percentatge de missatges que no són correu brossa hi trobarà? [0,75 punts]

%

Exercici 3

Un usuari d'Internet ha estimat que el 25 % dels correus electrònics que rep són correu brossa, mentre que la resta no ho són. Per a facilitar la classificació del correu, s'ha instal·lat un filtre que envia a la carpeta de correu brossa el 95 % dels missatges que efectivament ho són. Malauradament, aquest filtre deixa a la safata d'entrada només el 90 % dels missatges bons (i la resta els envia a la carpeta de correu brossa).

c)

Sabent que la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de dos minuts és $1 - e^{-1}$, trobeu el valor de $A$.

[1 punt]

OPCIÓ A

El dissenyador d'una casa de perfums ha decidit que l'ampolla del proper perfum que l'empresa traurà al mercat serà de vidre i tindrà la forma d'un cilindre amb una mitja esfera a la part superior, tal com es pot veure a la figura següent:

El perfum estarà contingut a la part cilíndrica, la qual té una capacitat de $100\text{ cm}^3$. L'enginyer a càrrec del procés de producció es proposa minimitzar el cost total del vidre usat i, per tant, vol que la superfície total de l'ampolla sigui mínima.

a)

Comproveu que la superfície total de l'ampolla de perfum ve donada per la fórmula

$$S(r) = 3\pi r^2 + \frac{200}{r}.$$ [1 punt]

b)

Quines dimensions ha de tenir l'ampolla de perfum perquè la superfície total sigui mínima? Quina és la superfície total de l'ampolla en aquest cas? [1,5 punts]

NOTA: Recordeu que la superfície d'una esfera ve donada per la fórmula $4\pi r^2$, on $r$ és el seu radi.

OPCIÓ B

Considereu les matrius $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a^2 \end{pmatrix}$, on $a$ és un paràmetre real, i $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$.

a)

Trobeu els valors de $a$ que fan que les matrius $A$ i $B$ commutin. (Dues matrius $A$ i $B$ commuten si $AB = BA$.) [0,75 punts]

b)

Trobeu els valors de $a$ per als quals la matriu $A$ és invertible. [0,75 punts]

c)

Trobeu els valors de $a$ per als quals $A^{-1} = A$. [1 punt]