Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña 2021 · Juny Serie 5

Considereu la funció $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.

a)

Trobeu l'equació de la recta tangent a $f(x)$ en el punt d'abscissa $x = 0$. [1,25 punts]

b)

Estudieu en quins intervals la funció $f(x)$ és creixent i en quins és decreixent. Indiqueu-ne també els extrems relatius i digueu si són màxims o mínims. [1,25 punts]

Per tal de vendre un excés de producció de 100 banyadors i 200 parells de xancletes, una botiga de roba de platja prepara dues promocions: l'oferta blava i l'oferta groga. L'oferta blava consisteix en un lot amb tres parells de xancletes i un banyador per 50 €, i l'oferta groga, en un lot amb un parell de xancletes i dos banyadors per 30 €. Per a complir els propòsits de la botiga, caldria que el nombre de lots venuts de l'oferta blava fos la meitat o més que el nombre de lots venuts de l'oferta groga.

a)

Determineu la funció objectiu i les restriccions, i dibuixeu la regió de les possibles opcions de venda que té la botiga. [1,25 punts]

b)

Quants lots de cada tipus s'hauran de vendre per a optimitzar els ingressos? Quins seran aquests ingressos? [1,25 punts]

Una empresa de productes lactis va ingressar l'any passat un total d'1.800.000 € per les vendes de formatges. Les exportacions a la Unió Europea van aportar tants ingressos com les vendes en l'àmbit estatal i les exportacions a països extracomunitaris juntes. Aquest any l'empresa ha ingressat 1.950.000 € i sabem que les vendes estatals han disminuït un 5 %, les exportacions a la Unió Europea han augmentat un 15 % i les exportacions a països extracomunitaris han augmentat un 10 %. Determineu les quantitats que va ingressar per cada concepte (vendes en l'àmbit estatal, exportacions a la Unió Europea i exportacions a països extracomunitaris) l'any passat, i també les quantitats que ha ingressat aquest any.

[2,5 punts]

Quantitats ingressades l'any passat (€):

€

€

€

Quantitats ingressades aquest any (€):

€

€

€

Suposeu que la temperatura de l'aigua del mar en una zona concreta és donada per la funció $f(x) = \dfrac{x^2 + 5x + 4}{x^2 + 4}$, en què $x$ representa la fondària en metres negatius (per exemple, $f(-5)$ representa el valor de la temperatura de l'aigua en graus Celsius a 5 metres de profunditat).

a)

Quina és la temperatura de l'aigua a la superfície? A quines profunditats la temperatura és de zero graus? Cap a quin valor tendeix la temperatura quan baixem a molta profunditat? [1,25 punts]

i

b)

Calculeu a quina fondària la temperatura és més baixa i quin és el valor d'aquesta temperatura mínima. [1,25 punts]

Fem dues proves de consum de combustible a un vehicle: en la primera, el vehicle recorre 200 km per carretera i 100 km per ciutat, i consumeix un total de 17 litres, mentre que en la segona recorre 300 km per carretera i 50 km per ciutat, i consumeix 17,5 litres. Suposant que els consums mitjans per carretera i per ciutat són sempre constants:

a)

Quin és el consum mitjà per 100 km en cada una de les dues proves?

[1,25 punts]

b)

Quants litres consumirà el mateix vehicle si en una tercera prova recorre 400 km per carretera i 150 km per ciutat?

[1,25 punts]

6. Considereu la matriu $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, en què $a$ és un nombre real.

a)

Calculeu $A^2$, $A^3$ i $A^4$. [1,25 punts]

b)

Deduïu quant valdrà la matriu $A^{100}$. [1,25 punts]