Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña 2026 · Juny Serie 5

Exercici 1

Després d'un seguit de pluges torrencials s'ha fet un estudi de la capacitat d'aigua emmagatzemada a tres embassaments: el de Darnius Boadella, el de Sau i el de la Baells. Sabem que l'aigua emmagatzemada als tres embassaments és de $112\text{ hm}^3$ i que el de la Baells conté la mateixa quantitat que el de Sau i el de Darnius Boadella junts.

1.1.

Amb aquesta informació, podem saber quanta aigua conté cada embassament? Raoneu la resposta. Quants hectòmetres cóbics d'aigua conté l'embassament de la Baells? [1,25 punts]

1.2.

Si, a més a més, sabem que el 10 % de l'aigua que conté l'embassament de Darnius Boadella més el 20 % de la que conté l'embassament de Sau més el 30 % de la que hi ha al de la Baells sumen $27{,}2\text{ hm}^3$, quina quantitat d'aigua conté cada embassament? [1,25 punts]

Exercici 2 [2,5 punts en total]

Al campus d'una universitat, el 45 % de l'alumnat hi arriba en tren, el 35 % en autobús i la resta utilitzant mitjans propis. Dels usuaris del tren, el 70 % usa la T-jove, mentre que el 30 % restant fa servir altres tipus de bitllets. Dels usuaris de l'autobús, el 60 % utilitza la T-jove i el 40 % usa altres tipus de bitllets. Dels que arriben al campus per mitjans propis, cap no fa servir la T-jove.

FÓRMULES PER A RESOLDRE L'EXERCICI:

$Z \sim \text{normal}(0, 1) \rightarrow P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$ i $P(-2{,}58 \le Z \le 2{,}58) = 0{,}99$

Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma \in (0, 1)$:

per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat{p} - z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]$

per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda): $\left[\bar{x} - z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\, \bar{x} + z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$

per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda): $\left[\bar{x} - z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}},\, \bar{x} + z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

2.1.

Si escollim un alumne a l'atzar, quina és la probabilitat que faci servir la T-jove per a arribar al campus? Si sabem que un alumne usa la T-jove per a arribar-hi, quina és la probabilitat que ho faci en tren? [1,25 punts]

2.2.

Volem fer un estudi per a saber quant temps tarda l'alumnat a arribar al campus de la universitat des que surt per la porta de casa. Per això vam demanar a una mostra de 300 estudiants que calculessin aquesta dada un dia determinat. Vam obtenir que aquests 300 estudiants de mitjana havien tardat 53 minuts a arribar al campus, i que la desviació típica era de 8 minuts.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per al temps que tarden els alumnes a arribar al campus. [1,25 punts]

En una localitat costanera han obert un nou local d'oci nocturn amb diverses pistes de ball i zones de descans. Per a accedir-hi, cal comprar una entrada que inclou una consumició. Després d'unes quantes setmanes, els propietaris s'han adonat que si el preu de l'entrada és de 15 €, l'afluència és de 180 clients. També s'han adonat que la relació entre el preu de l'entrada i el nombre de clients és lineal, de manera que per cada euro de més en el preu de l'entrada perden 20 clients. L'aforament del local és de 320 persones.

3.1.

Comproveu que el nombre de persones que entren al local en funció del preu és donat per la funció $f(x) = 480 - 20x$. A partir de quin preu cal vendre l'entrada per a aconseguir omplir el local? A quin preu no hi anirà ningú?

[0,75 punts]

€

€

3.2.

Trobeu una funció que determini els ingressos obtinguts amb les entrades en funció del preu de l'entrada. Quins són els ingressos quan el preu de l'entrada és de 15 €? I quan és de 18 €?

[0,75 punts]

€

€

3.3.

A quin preu cal posar l'entrada per a obtenir el màxim d'ingressos? Quins són aquests ingressos?

[1 punt]

€

€

OPCIÓ A

4.1.

Fent una anàlisi econòmica del darrer exercici, en Bernat ha descobert que l'empresa va tenir uns ingressos totals de $42.500\text{ €}$ per la venda de paraigües. Tot i així, no hi ha cap document que indiqui quants paraigües de cada tipus es van vendre; només que el preu de venda de cada paraigua plegable era de $25\text{ €}$ i el del paraigua bastó era de $15\text{ €}$. Regirant entre la documentació, també ha trobat que es va fer servir un total de $2.375\text{ m}^2$ de tela impermeable. Per a fabricar un paraigua plegable, es necessita $1\text{ m}^2$ d'aquesta tela, mentre que per a un paraigua bastó se'n necessiten $1,5\text{ m}^2$.

Sabent que no va quedar cap paraigua al magatzem en finalitzar la temporada, quants paraigües de cada model es van vendre? [1,25 punts]

4.2.

Tenint en compte el cost de fabricar i emmagatzemar els paraigües plegables, la funció que determina el benefici, en milers d'euros, que resulta de fabricar aquest producte és $p(x) = x(3 - x)$, en què $x$ representa el nombre de paraigües fabricats, en centenars d'unitats. Considerant els mateixos factors, la funció de benefici dels paraigües bastó és $b(x) = -\dfrac{2}{5}x^2 + 2x$.

Quins beneficis s'obtindran en total si es fabriquen $100$ paraigües de cada tipus? Per a cada model de paraigua, calculeu entre quins valors ha d'estar compresa la variable $x$ perquè l'empresa no tingui pèrdues. [1,25 punts]

Exercici 4 - OPCIÓ B

A en Bernat l'han contractat com a gerent d'una empresa que fabrica paraigües després que el gerent anterior fos acomiadat per no guardar convenientment la documentació. Aquesta empresa fabrica dos models de paraigües: paraigües plegables i paraigües bastó.

4.1.

Tenint en compte el cost de fabricar i emmagatzemar els paraigües plegables, la funció que expressa el benefici, en milers d'euros, que resulta de fabricar aquest producte és $p(x) = x(3 - x)$, en què $x$ representa el nombre de paraigües fabricats, en centenars d'unitats. Considerant els mateixos factors, la funció de benefici dels paraigües bastó és $b(x) = -\frac{2}{5}x^2 + 2x$. L'empresa fabricarà el nombre de paraigües de cada tipus que marxi-mitzi la seva funció de beneficis. [1,25 punts]

Paraigües plegables

Paraigües bastó

Paraigües plegables

Paraigües bastó

4.2.

Un dia arriben a l'empresa dos lots de paraigües bastó que havia encarregat el gerent anterior per analitzar dues maneres diferents de tractar la tela impermeable: mitjançant la impregnació amb un nou producte químic o mitjançant un recobriment de tefló. Entre els dos lots, hi ha 60 paraigües amb la tela recoberta de tefló i 80 paraigües impermeabilitzats amb el mètode d'impregnació. Sabem que un 98 % dels paraigües amb recobriment de tefló aguanten bé la pluja, però només el 95 % dels que han rebut el tractament d'impregnació l'aguanten bé.

En sortir de la feina, cau un xàfec sobtat i en Bernat agafa un dels nous paraigües, però té la mala sort que és un dels defectuosos i queda ben xop. Quina és la probabilitat que el paraigua que ha agafat sigui dels que estan recoberts de tefló? [1,25 punts]