Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña 2022 · Juny Serie 5

El valor d'un producte electrònic, en funció del nombre de mesos que fa que està a la venda, $t$, és donat per la funció $f(t) = -(t + 25)(t - 75)$.

a)

Trobeu els intervals de creixement i decreixement de la funció $f(t)$. En quin moment el producte assolirà el valor màxim? Quin és aquest valor màxim?

[1,25 punts]

mesos

€

b)

Sabem que el producte es deixarà de comercialitzar quan arribi a un valor de 475 €. En quin moment es deixarà de comercialitzar?

[1,25 punts]

mesos

Una capsa conté 40 monedes, que són de 50 cèntims, d'1 € i de 2 €. Sabem que el nombre de monedes de 50 cèntims que hi ha és el doble que el de monedes de 2 €.

a)

Podem saber el nombre de monedes que hi ha de cada tipus? En cas afirmatiu, calculeu-lo. En cas negatiu, doneu la solució en funció d'un paràmetre. [1,25 punts]

Sí

No

b)

Esbrineu si es pot calcular el valor total, en euros, de les monedes de la capsa. En cas afirmatiu, calculeu-lo. [1,25 punts]

Sí

No

3. Calculeu la matriu $X$ que verifica $A \cdot X \cdot B = C$, sabent que$$X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\quad \text{i}\quad C = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -8 \end{pmatrix}.$$ [2,5 punts]

Un hotel admet reserves per a les 420 habitacions dobles de què disposa i ofereix dues tarifes diferents: la tarifa estàndard (sense despeses de cancel·lació) és de 120 € per nit, i la tarifa reduïda (que no admet cancel·lacions) és de 90 € per nit. Els interessa tenir reservat almenys un 20 % del total d'habitacions amb la tarifa reduïda i volen que el nombre d'habitacions reservades amb la tarifa estàndard sigui igual o superior que el doble del nombre d'habitacions reservades amb la tarifa reduïda.

a)

Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts]

Preneu $x$ com el nombre d'habitacions amb tarifa estàndard i $y$ com el nombre d'habitacions amb tarifa reduïda.

b)

Determineu quantes habitacions han de tenir reservades amb cada tarifa per a obtenir el benefici màxim. Quin és aquest benefici màxim? [1,25 punts]

Una fàbrica de vehicles produeix cotxes d'un model anomenat Paradís i els ven a 58.000 €. Sabem que els costos mensuals de producció són donats per la funció $$C(x) = \frac{1}{2}x^2 - 64x + 4.704$$ (en milers d'euros), en què $x$ denota el nombre de cotxes que es fabriquen mensualment.

a)

Suposant que es venen tots els cotxes que es fabriquen, verifiqueu que la funció de beneficis és $B(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 122x - 4.704$ (en milers d'euros). [0,75 punts]

b)

Determineu el nombre de cotxes que cal fabricar mensualment per a no tenir pèrdues. Per a quin nombre d'unitats produïdes s'obté el benefici màxim i quin és aquest benefici màxim? [1 punt]

Des de fins a cotxes

cotxes

c)

Es vol augmentar el preu de venda per unitat, de manera que el benefici màxim s'obtingui amb 130 unitats (la funció que dona el cost mensual en milers d'euros no varia). Quin ha de ser el nou preu de venda del cotxe? [0,75 punts]

Considereu la funció $f(x) = e^{3x}$.

a)

Calculeu el pendent de la recta tangent a la gràfica d'aquesta funció en el punt d'abscissa $x = 0$. [1,25 punts]

b)

Obteniu l'equació d'aquesta recta tangent. [1,25 punts]