Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia 2026 · Extraordinaria solapamiento

Problema 1. A. Consideramos las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},$$

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix},$$

$$C = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

a)

Determina $BB^t$, siendo $B^t$ la traspuesta de la matriz $B$. (0,5 puntos)

b)

Consideramos la matriz $D = \lambda B$, siendo $\lambda$ un número real. Determina $\lambda$ para que $DD^t = I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (0,5 puntos)

c)

Halla $(B\,B^t)^5$. (0,5 puntos)

d)

Determina la matriz $X$ que es solución de la ecuación $5XA - BCB^t = I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (2 puntos)

Problema 1. B. Una empresa de suministros tecnológicos vende tres tipos de componentes: procesadores, tarjetas gráficas y módulos de memoria. El departamento de contabilidad ha perdido la información sobre el precio individual de cada componente. No obstante, sabe que la venta de 2 procesadores, 1 tarjeta gráfica y 4 módulos de memoria sumó un total de 1020€ y que un lote de 3 procesadores y 2 tarjetas gráficas al que se aplicó un descuento equivalente al precio de 1 módulo de memoria se vendió al precio de 1280€. Si el precio de una tarjeta gráfica es igual a la suma del precio de un procesador más el doble del precio de un módulo de memoria, determina el precio de cada componente.

(Planteamiento correcto 1,5 puntos --- Resolución correcta 2 puntos)

€

€

€

Problema 2. A. En una carretera se sanciona a los vehículos con velocidad superior a 110 km/h o inferior a 80 km/h. Si el radar detecta un vehículo con velocidad inferior a 80 km/h, el conductor debe pagar 100 euros, sea cual sea su velocidad; si la velocidad detectada es superior a 110 km/h, el conductor debe pagar 50 euros más la diferencia entre la velocidad detectada por el radar y 110 km/h, en euros; si la velocidad detectada está entre 80 y 110 km/h, ambos incluidos, no debe pagar nada.

a)

Obtén la función que indique los euros que debe pagar un conductor si el radar detecta que su coche circula a $x$ km/h, para cualquier $x \ge 0$, y analiza en qué puntos esta función es continua y en qué puntos es discontinua. (1,25 puntos)

b)

Calcula el área de la región delimitada por esta función, el eje $OX$, la recta de ecuación $x = 120$ y la recta de ecuación $x = 125$. (1 punto)

c)

En otra carretera solo se sanciona a los vehículos con velocidad superior a 120 km/h. Si la velocidad detectada por el radar no es superior a 120 km/h, el conductor no debe pagar nada; en caso contrario, debe pagar el triple de la diferencia entre la velocidad detectada por el radar y 120 km/h, en euros. ¿A qué velocidades un conductor tendrá que pagar lo mismo en esta carretera que en la anterior? (1,25 puntos)

Se considera la función:

$$f(x) = \frac{x^2 - x}{1 + x^2}$$

Se pide:

a)

Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. [0,5 puntos]

b)

Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. [0,5 puntos]

Se considera la función:

$$f(x) = \frac{x^2 - x}{1 + x^2}$$

Se pide:

c)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen, y el valor de estos. (2 puntos)

d)

La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (0,5 puntos)

Problema 3. En la fase final del campeonato de Europa de baloncesto juegan Alemania, Francia, Croacia y España. Las semifinales son: España-Alemania y Francia-Croacia. La probabilidad de que España gane a Alemania es 0,7, la de que gane a Francia es 0,25 y la de que gane a Croacia es 0,55. La probabilidad de que Francia pierda contra Croacia es 0,4. Se supone independencia entre los resultados de unos partidos y otros.

a)

Calcula probabilidad de que la final sea Alemania-Croacia. (0,5 puntos)

b)

Calcula la probabilidad de que España sea campeona. (1 punto)

c)

Si España ha sido campeona, ¿cuál es la probabilidad de que en la final haya jugado contra Francia? (0,5 puntos)

Problema 3. En la fase final del campeonato de Europa de baloncesto juegan Alemania, Francia, Croacia y España. Las semifinales son: España-Alemania y Francia-Croacia. La probabilidad de que España gane a Alemania es 0,7, la de que gane a Francia es 0,25 y la de que gane a Croacia es 0,55. La probabilidad de que Francia pierda contra Croacia es 0,4. Se supone independencia entre los resultados de unos partidos y otros.

d)

El mes siguiente al campeonato, España y Croacia jugarán siete partidos. ¿Cuál es la probabilidad de que Croacia gane al menos cinco de esos partidos? (1 punto)

Tabla de la distribución binomial

$P[X = x] = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$