Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia 2025 · Ordinaria solapamiento

Problema 1. A. En época de regalos navideños, con 225 euros se pueden comprar dos libros, tres plumas estilográficas y un reloj inteligente. Sin embargo, en época de rebajas nos descuentan 5 euros de cada artículo, lo que nos permite comprar un libro más con ese mismo dinero. Después, en febrero, pasada la época de rebajas, cada artículo cuesta 5 euros más que en la época navideña, de manera que, con ese mismo dinero, podemos comprar tres plumas y tres libros, pero ningún reloj inteligente. ¿Cuál es el precio del libro, de la pluma estilográfica y del reloj inteligente en época navideña?

(Planteamiento correcto 1,5 puntos --- Resolución correcta 2 puntos)

Problema 1. B. Un creador de contenido desea invertir en publicidad hasta 10 000 euros. Ha considerado dos empresas, A y B. La empresa de publicidad A es más agresiva, y garantiza un incremento anual en número de seguidores del 10% de lo que se invierte; la B es más tradicional y el incremento en número de seguidores que garantiza es del 7% de lo que se invierte. Así pues, el creador desea invertir al menos 2.000 euros en la empresa B y un máximo de 6.000 euros en la A, invirtiendo siempre en la A al menos lo invertido en la B.

a)

¿Cuánto dinero tiene que asignar a cada empresa para que el incremento de seguidores sea máximo?

b)

¿Cuál es dicho incremento de seguidores máximo?

Problema 2. A

La temperatura, $T$, de un motor depende de las revoluciones, $r$, del mismo de forma que entre $0$ y $100$ revoluciones evoluciona siguiendo una tendencia lineal tal que: $T(r) = \frac{r}{4} + 25$. Sin embargo, a partir de $100$ revoluciones la temperatura depende del cuadrado de las revoluciones, de forma que: $T(r) = Ar^2 + B$, siendo $A$ y $B$ números reales.

a)

Teniendo en cuenta que la función debe ser continua y que la derivada de $T(r)$ en $r = 1.600$ vale $4$, determina $A$ y $B$.

[1,5 puntos]

b)

¿Existen máximos o mínimos para la temperatura en función de las revoluciones? Justifica la respuesta.

[1 punto]

c)

Un operario utiliza el motor durante $30$ minutos de forma que en el minuto $m$ las revoluciones que tiene el motor vienen dadas por la expresión $r(m) = 5m - 0.15m^2$. Determina en qué minutos las revoluciones son máximas y mínimas, el valor de estas y el valor de la temperatura en esos momentos.

[1 punto]

Problema 2. B. Se considera la función: $$f(x) = \frac{x}{1 - x^2} - x$$ Se pide:

a)

Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. [0,5 puntos]

b)

Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. [0,5 puntos]

c)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen. [2 puntos]

d)

La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. [0,5 puntos]

Problema 3. Una prueba diagnóstica para detectar la artritis reumatoide da positiva en el $96\%$ de los casos cuando se tiene la enfermedad, y da negativa en el $94\%$ de los casos cuando no se tiene la enfermedad. Entre los habitantes de un cierto pueblo, se sabe que uno de cada ciento cuarenta y cinco tiene la enfermedad sin saberlo. Se escoge al azar un habitante de este pueblo y se le aplica la prueba.

a)

Calcula la probabilidad de que el habitante seleccionado padezca artritis reumatoide y la prueba haya dado negativa. [1 punto]

b)

Si el resultado de la prueba ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que el habitante seleccionado padezca artritis reumatoide? [1 punto]

c)

Calcula la probabilidad de que el resultado de la prueba sea correcto. [1 punto]