Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia 2025 · Extraordinaria

Problema 1. A. Una agencia de viajes organiza excursiones a la montaña y a la playa. La agencia obtiene 700 euros de beneficio por cada excursión a la montaña y 500 euros por cada excursión a la playa. La agencia dispone de un total de 10 autobuses y 8 guías turísticos para las excursiones. Cada excursión a la montaña requiere 2 autobuses y 2 guías, mientras que cada excursión a la playa requiere 2 autobuses y 1 guía.

a)

¿Cuántas excursiones a la montaña y cuántas a la playa tiene que organizar la agencia para obtener el máximo beneficio posible? [3 puntos]

b)

¿Cuál es dicho beneficio máximo? [0,5 puntos]

Problema 1. B. Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\quad \text{y}\quad C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}.$$

a)

Determina la matriz $X$ que es solución de la ecuación $2XA + B^t C = I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3 y $B^t$ la traspuesta de la matriz $B$.

[2,5 puntos]

b)

Consideremos la matriz $$D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & z \end{pmatrix}.$$ Calcula para qué valores de $z$ la matriz $AD$ es diagonal.

[1 punto]

Una empresa que fabrica neumáticos para coches ha estudiado su desgaste, medido en una escala de 0 a 1, en función del tiempo de uso. La empresa fabrica dos tipos de neumáticos: A y B. Para un neumático A, su desgaste $D_A$ tras $x$ meses de uso, para $x$ entre 0 y 50, viene dado por la función $D_A(x) = \frac{1}{100} + \frac{29x}{3000}$. Por su parte, el desgaste $D_B$ para un neumático B tras $x$ meses de uso, para $x$ entre 0 y 50, viene dado por la función $D_B(x) = \frac{x^2}{3000}$.

a)

Determina el número de meses para el cual el desgaste es el mismo para los dos tipos de neumáticos. (1 punto)

b)

Determina para qué intervalo de meses el desgaste es menor para el neumático A y para qué intervalo de meses el desgaste es menor para el B. (1 punto)

c)

Calcula el área comprendida entre las dos funciones en el intervalo en que el desgaste es menor para el neumático A, y calcula el área comprendida entre las dos funciones en el intervalo en que el desgaste es menor para el B. (1,5 puntos)

Se considera la función:

$$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1 + x^2}{x(2x + 4) + 2}$$

Se pide:

a)

Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)

b)

Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (0,5 puntos)

c)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)

d)

La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (0,5 puntos)

Una ciudad está implementando un programa de sostenibilidad ambiental. Como parte de este programa, los residentes tienen la opción de participar en dos actividades: limpieza de parques y plantación de árboles. Para evaluar el impacto de esta iniciativa, se realizó una encuesta a 2.000 ciudadanos, de los cuales 800 participaron en la limpieza de parques, 1.400 en la plantación de árboles, 300 en las dos actividades y 100 en ninguna de ellas. Seleccionamos al azar a uno de estos ciudadanos.

a)

Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en al menos una de las dos actividades. (0,75 puntos)

b)

Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en limpieza de parques, pero no en plantación de árboles. (0,75 puntos)

c)

Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en exactamente una de las dos actividades. (0,75 puntos)

d)

Si el ciudadano seleccionado no ha participado en la plantación de árboles, calcula la probabilidad de que tampoco haya participado en la limpieza de parques. (0,75 puntos)