Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia 2025 · Ordinaria

Una empresa fabrica lotes de tres productos: P1, P2 y P3. La empresa tiene dos plantas de fabricación: A y B. En un día de funcionamiento, la planta A fabrica 1 lote del producto P1, 2 lotes del P2 y 1 lote del P3, mientras que la planta B fabrica 1 lote del producto P1, 1 del P2 y 5 del P3. Cada día de funcionamiento de la planta A cuesta 60 miles de euros y cada día de funcionamiento de la planta B cuesta 75 miles de euros. En los próximos días la empresa tiene que producir al menos 6 lotes del producto P1, al menos 8 lotes del producto P2 y al menos 10 lotes del producto P3.

a)

¿Cuántos días ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo? [3 puntos]

b)

¿Cuál es dicho coste mínimo? [0,5 puntos]

Problema 1. B. A un espectáculo circense acuden 500 espectadores, y la recaudación del importe de las entradas asciende a 2.115 euros. Los menores de 5 años pagan el 20% de la entrada, y los que tienen entre 5 y 16 años el 50%. Calcula cuántos espectadores han pagado el importe total de la entrada, que vale 9 euros, cuántos han pagado el 20% de la entrada y cuántos el 50%, sabiendo que el número de espectadores que han pagado el 20% es el doble del número de espectadores que han pagado la entrada completa.

(Planteamiento correcto 1,5 puntos --- Resolución correcta 2 puntos)

Se considera la función:$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 + x^2}{1 + x} & \text{si } 0 \le x < 4 \\[1.5ex] 2x + 4 & \text{si } 4 \le x < 8 \\[1.5ex] 3x + 60 - x^2 & \text{si } 8 \le x \le 9 \end{cases}$$

Se pide:

a)

Estudiar la continuidad de la función en el intervalo $[0,9]$. (0,75 puntos)

b)

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo $[0,9]$. (1,5 puntos)

c)

Calcular los puntos donde la función alcanza el máximo y el mínimo, y cuánto vale la función en esos puntos. (0,5 puntos)

Se considera la función:$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 + x^2}{1 + x} & \text{si } 0 \le x < 4 \\[1.5ex] 2x + 4 & \text{si } 4 \le x < 8 \\[1.5ex] 3x + 60 - x^2 & \text{si } 8 \le x \le 9 \end{cases}$$

Se pide:

d)

Calcular el área de la región delimitada por esta función, el eje $OX$, la recta de ecuación $x = 8$ y la recta de ecuación $x = 9$. (0,75 puntos)

Se considera la función:$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 + x^2}{1 + x} & \text{si } 0 \le x < 4 \\[1.5ex] 2x + 4 & \text{si } 4 \le x < 8 \\[1.5ex] 3x + 60 - x^2 & \text{si } 8 \le x \le 9 \end{cases}$$

Se considera la función:

$$f(x) = \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8}$$

Se pide:

a)

Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)

b)

Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (0,5 puntos)

c)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)

d)

La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (0,5 puntos)

En un país se sabe que un $35\%$ de personas vive en municipios pequeños ($10\,000$ habitantes o menos), un $25\%$ de personas vive en municipios medianos (entre $10\,001$ y $50\,000$ habitantes) y un $40\%$ de personas vive en municipios grandes (más de $50\,000$ habitantes). Entre las personas que viven en municipios pequeños, un $20\%$ se graduó en la universidad; entre las que viven en municipios medianos, un $30\%$ se graduó en la universidad; y entre las que viven en municipios grandes, un $60\%$ se graduó en la universidad. Seleccionamos al azar una persona de este país.

a)

Calcula la probabilidad de que la persona seleccionada se haya graduado en la universidad. (1 punto)

b)

Si sabemos que la persona seleccionada se graduó en la universidad, ¿cuál es la probabilidad de que viva en un municipio con más de $10\,000$ habitantes? (1 punto)

c)

Calcula la probabilidad de la intersección de los sucesos "la persona seleccionada vive en un municipio con $50\,000$ habitantes o menos" y "la persona seleccionada se graduó en la universidad o vive en un municipio con más de $10\,000$ habitantes". (1 punto)