Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Navarra 2023 · Ordinaria

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$.

i)

Razone qué dimensión debe tener una matriz $D$, para que $(B^t \cdot D)$ sea una matriz columna. (2 puntos)

filas $\times$

columnas

ii)

Calcule $A \cdot B$ (2 puntos)

iii)

Despeje y calcule la matriz $X$ que verifica la ecuación $ABX - C = I$, siendo $I$ la matriz identidad. (6 puntos)

EJERCICIO 2:

Una empresa produce un tipo de pintura que vende en el mercado nacional, con un beneficio unitario de 10.000 euros/tonelada. Esta empresa se está planteando introducir su producto en el mercado internacional, ya que el beneficio unitario se duplica en dicho mercado. La empresa no se plantea aumentar su capacidad actual de producción de 80 toneladas mensuales.

Por temor a perder la clientela nacional, la empresa ha decidido destinar mensualmente a este mercado al menos el 75% de la producción total. Además, un cliente del mercado internacional ha solicitado a la empresa un pedido de 10 toneladas mensuales, por lo que se ha decidido destinar mensualmente al mercado internacional al menos dicha cantidad.

Determine la cantidad mensual que se deberá destinar a cada uno de los dos mercados, si la empresa desea maximizar el beneficio mensual.

i)

Plantee el problema. (4 puntos)

Variables, función objetivo y restricciones:

ii)

Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema. (4 puntos)

Cantidad mensual óptima destinada al mercado nacional:

Cantidad mensual óptima destinada al mercado internacional:

Beneficio mensual máximo:

iii)

Analice gráficamente qué ocurriría si el beneficio de la pintura en el mercado nacional se incrementa a 20.000 euros/tonelada. (2 puntos)

Análisis gráfico (qué ocurre con la solución óptima):

Beneficio mensual máximo en este caso:

EJERCICIO 3

Considere la función $f(x) = \sqrt{5 + x^2}$.

i)

Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x = -2$. (4 puntos)

iii)

Calcule la derivada de la función $g(x) = 6\ln(5 - 3x) + 3x^2\operatorname{sen}(7x - 5)$. (3 puntos)

EJERCICIO 3

Considere la función $f(x) = \sqrt{5 + x^2}$.

ii)

Calcule $\int x \cdot f(x) \, dx$ (3 puntos)

EJERCICIO 4

Considere la función $f(x) = -x^2 + 2x + 3$.

i)

Calcule los puntos de corte con los ejes. [1 punto]

$(

,

)

Primer punto: $(

,

)

Segundo punto: $(

,

)

ii)

Calcule los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [3 puntos]

Tipo de extremo (Máximo / Mínimo):

Punto: $(

,

)

EJERCICIO 4

Considere la función $f(x) = -x^2 + 2x + 3$.

iii)

Dibuje el recinto limitado por la función $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = -2$ y $x = 2$.

[2 puntos]

iv)

Calcule el área de dicho recinto.

[4 puntos]

En una prueba de evaluación sorpresa para 50 estudiantes, 20 de ellos hacen una prueba tipo test y 30 de ellos resuelven un problema. El 90% de los estudiantes que hacen la prueba tipo test han aprobado y 24 estudiantes que resuelven un problema han aprobado.

i)

Se elige al azar un estudiante. Calcule la probabilidad de que no haya aprobado. (2 puntos)

ii)

Se elige al azar un estudiante. Si el estudiante ha aprobado, ¿qué es más probable, que haya hecho un examen tipo test o un problema? Calcule dicha probabilidad. (4 puntos)

iii)

Se elige un estudiante de examen tipo test y otro estudiante de examen con problema. Calcule la probabilidad de que los dos hayan aprobado. (4 puntos)

EJERCICIO 6

A partir de una muestra de $200$ jóvenes entre $18$ y $25$ años, se observó que $50$ no usan transporte público.

i)

Calcule un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usan transporte público, con un nivel de confianza del $96\%$. Interprete la solución en el contexto del problema. (5 puntos)

ii)

Calcule el tamaño muestral para que la amplitud del intervalo se reduzca a la tercera parte, con un nivel de confianza del $96\%$. (5 puntos)

Tabla de la distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$