Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Navarra 2022 · Ordinaria

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 5 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$.

i)

Calcule $A \cdot B^t$ y explique razonadamente si la matriz resultante tiene inversa. (3 puntos)

$A \cdot B^t =$

ii)

Determine las matrices $X$ e $Y$ que verifican el sistema: $\begin{cases} 2X - 3Y = A \\ 3X - 2Y = B \end{cases}$ (7 puntos)

$X =$

$Y =$

EJERCICIO 2:

Un joven estudiante ganó 20000 euros en un concurso cultural y está pensando en invertir al menos el 20% y no más del 50% del premio. Un asesor le aconseja que reparta su inversión en dos carteras (C1 y C2). La cartera C1 tiene un perfil de riesgo audaz y una rentabilidad del 7%, mientras que la cartera C2 tiene un perfil de riesgo moderado y una rentabilidad del 4%. El estudiante decide invertir no más de 8000 euros en la cartera C1 y al menos 3000 euros en la cartera C2. Además, el asesor le recomienda que invierta en C2 una cantidad igual o superior a lo invertido en C1. ¿Cuánto deberá invertir en cada cartera si se desea maximizar la rentabilidad?

i)

Plantee el problema (variables, función objetivo y restricciones). [4 puntos]

ii)

Resuélvalo gráficamente (región factible, vértices y solución óptima). [4 puntos]

iii)

Analice gráficamente qué ocurriría si considerando el perfil de riesgo, el estudiante modifica su idea inicial y decide no invertir más de 2500 euros en la cartera C1. [2 puntos]

Sea la función $$f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}$$

i)

Estudie la continuidad de $f(x)$, clasificando los puntos de discontinuidad. [3 puntos]

Sea la función $$f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}$$

ii)

Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x = 1$. [4 puntos]

Sea la función $$f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}$$

iii)

Calcule $\int f(x)\,dx$. [3 puntos]

Sea la función $f(x) = x \cdot (x - 3)^2$

i)

Calcule los puntos de corte con los ejes.

[1 punto]

y

ii)

Calcule los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

[3 puntos]

Sea la función $f(x) = x \cdot (x - 3)^2$

iii)

Dibuje el recinto limitado por la función $f(x)$ y el eje OX.

[2 puntos]

iv)

Calcule el área de dicho recinto.

[4 puntos]

Una empresa vende tres productos (A, B y C) que distribuye a sus clientes a través de dos empresas de transporte ( Trans y Logis). El año pasado, la empresa realizó 1500 ventas y encargó a Trans el 60% del reparto y a Logis el 40%. El 20% de los productos distribuidos por Trans fueron tipo A, el 50% fueron tipo B y el 30% tipo C. Para la empresa Logis, estos porcentajes fueron 40%, 35% y 25%, respectivamente.

i)

Se selecciona al azar una venta realizada el año pasado. Calcule la probabilidad de que sea un producto tipo B y distribuido por Trans.

[3 puntos]

ii)

Se selecciona al azar una venta realizada el año pasado. Sabiendo que es un producto tipo C, calcule la probabilidad de que fuera distribuido por Logis.

[4 puntos]

iii)

Se seleccionan al azar (sin reemplazamiento) dos ventas realizadas el año pasado. Calcule la probabilidad de que las dos ventas fueran distribuidas por Trans.

[3 puntos]

El consumo energético mensual (en kWh) de los hogares de una región sigue una distribución normal con varianza 400. Se elige una muestra de 64 hogares, obteniéndose una suma total del consumo de 17280 kWh.

i)

Calcule un intervalo de confianza al 92% para el consumo energético medio en hogares. [5 puntos]

(

;

)

ii)

Determine el tamaño de la muestra necesario para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo se reduzca a la mitad. [5 puntos]