Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Navarra 2026 · Ordinaria

PREGUNTA 1

La siguiente imagen representa la región factible no acotada de un problema de programación lineal:

Considere la función objetivo $z = f(x, y) = 2x + y$.

i)

Utilice el método gráfico para minimizar la función objetivo en dicha región e indique el valor óptimo de la función objetivo. [1 punto]

(

,

)

ii)

Añada la restricción $y \le 5$ y represente la nueva región factible, señalando sus vértices. Razone en qué punto se alcanza el máximo de la función objetivo e indique el valor óptimo de la función objetivo. [1.5 puntos]

(

,

)

PREGUNTA 2

Dada la función $f(x) = ax^2 + 5x + \dfrac{b}{x}$, responda a las siguientes cuestiones:

i)

Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función tenga un extremo relativo en el punto $(1, 4)$. [1.25 puntos]

ii)

Utilizando los valores $a = 2$ y $b = 0$, determine la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$. [1.25 puntos]

Según un estudio realizado a los egresados de una universidad sobre su incorporación al mercado laboral, la mitad de los encuestados encontraron trabajo relacionado con sus estudios, el 35% encontraron trabajo no relacionado con sus estudios y el resto no encontraron trabajo. El 85% de los que encontraron trabajo relacionado con sus estudios, el 40% de los que encontraron trabajo no relacionado con sus estudios y el 10% de los que no encontraron trabajo, tenían titulación de máster. Se elige un egresado al azar.

i)

Calcule la probabilidad de que no tenga titulación de máster.

ii)

Sabiendo que tiene titulación de máster, calcule la probabilidad de que no encontrara trabajo.

Un equipo de investigadores de salud pública está analizando la relación entre el tipo de dieta (Mediterránea o Vegetariana) y el nivel de actividad física (Baja, Moderada o Alta). Los datos obtenidos en una muestra representativa de 250 adultos se recogen en la siguiente tabla:

· Baja (B) · Moderada (M) · Alta (A) · TOTAL

Dieta Mediterránea (DM) · 42 · 68 · 45 · 155

Dieta Vegetariana (DV) · 33 · 47 · 15 · 95

TOTAL · 75 · 115 · 60 · 250

i)

Obtenga la proporción muestral de adultos que tienen una actividad física Baja. [0,25 puntos]

ii)

Calcule un intervalo de confianza al 95% para la proporción de adultos en la población que tienen una actividad física Baja. (Utilice 4 decimales). [1,25 puntos]

Un equipo de investigadores de salud pública está analizando la relación entre el tipo de dieta (Mediterránea o Vegetariana) y el nivel de actividad física (Baja, Moderada o Alta). Los datos obtenidos en una muestra representativa de 250 adultos se recogen en la siguiente tabla:

· Baja (B) · Moderada (M) · Alta (A) · TOTAL

Dieta Mediterránea (DM) · 42 · 68 · 45 · 155

Dieta Vegetariana (DV) · 33 · 47 · 15 · 95

TOTAL · 75 · 115 · 60 · 250

Sea la matriz de datos $F = \begin{pmatrix} 42 & 68 & 45 \\ 33 & 47 & 15 \end{pmatrix}$ formada por las frecuencias de la tabla (sin los totales).

Se estima que el gasto calórico extra diario por nivel de actividad física es de 200 kcal (Baja), 500 kcal (Moderada) y 900 kcal (Alta).

iii)

Defina la matriz columna de gasto calórico $C$ y calcule el producto $F \cdot C$, explicando qué representan los elementos de la matriz resultante en el contexto del estudio.

$C = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} =$

$F \cdot C = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} =$

El importe de los préstamos que solicitan los jóvenes a los bancos para la compra de su primera vivienda sigue una distribución normal con desviación típica 48 (en miles de euros). Se selecciona una muestra de jóvenes que solicitan un préstamo, obteniéndose los siguientes importes (en miles de euros): 160, 275, 300, 250, 280, 310, 180, 200 y 223. Calcule un intervalo de confianza al 95% para el importe medio de este tipo de préstamos. (Utilice 2 decimales). [1,5 puntos]

ii)

Calcule $$\int \frac{7x^2}{4x^3 - 2} \, dx$$