Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Navarra 2021 · Ordinaria

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$, responda a las siguientes cuestiones:

i)

Calcule $A^{-1}$ y $B^{-1}$ (3 puntos)

ii)

Resuelva la ecuación matricial $C - A = 2X - 6I$ (3 puntos)

iii)

Resuelva la ecuación matricial $A X B = C$ (4 puntos)

Un empresario quiere dedicar 50 horas laborables a cursos de formación para sus empleados y está considerando dos tipos de cursos de formación (F1 y F2). El curso F1 es más atractivo para sus empleados y cada hora de curso conseguiría aumentar la productividad de la empresa en un 1%, mientras que el curso F2, es menos atractivo para los empleados, pero mejoraría la productividad en un 2%. El empresario decide dedicar al menos 20 horas al curso F1 y no más de 35 horas al curso F2. Además, los empleados solicitan que se dedique al curso F1 una cantidad igual o superior de horas que al curso F2. ¿Cuántas horas se debería dedicar a cada curso de formación si se desea maximizar el aumento de la productividad?

i)

Plantee el problema. (4 puntos)

ii)

Resuélvalo gráficamente. (4 puntos)

iii)

Analice gráficamente qué ocurriría si considerando las preferencias de los empleados, el empresario modifica su idea inicial y decide no dedicar más de 10 horas al curso de formación F2. (2 puntos)

Sean las funciones $f(x) = \dfrac{x^2+4x+3}{2x-2}$ y $g(x) = 2x^2 + ax + 1$.

i)

Estudie la continuidad de la función $f(x)$ y, en su caso, indique el tipo de discontinuidad. (3 puntos)

Sean las funciones $f(x) = \dfrac{x^2+4x+3}{2x-2}$ y $g(x) = 2x^2 + ax + 1$.

ii)

Calcule el valor del parámetro $a$ para que $g(x)$ tenga un mínimo en $x = 1/2$. (3 puntos)

iii)

Calcule $g'(1)$ aplicando la definición de derivada, para el valor del parámetro $a = -1$. (4 puntos)

EJERCICIO 4:

i)

Calcule las asíntotas de la función $f(x) = \dfrac{2x^2+5}{x+1}$. [5 puntos]

EJERCICIO 4:

ii)

Calcule la primitiva de la función $f(x) = (2x + 1)^3$, sabiendo que $F(0) = 9/8$. [5 puntos]

EJERCICIO 5:

En una empresa de reservas de viajes y alojamientos por internet, el 75% de las visitas buscan alojamiento, el 55% de las visitas buscan vuelo y el 40% de las visitas buscan alojamiento y vuelo. Se selecciona una visita al azar. Calcule:

i)

La probabilidad de que busque vuelo o alojamiento. (3 puntos)

ii)

La probabilidad de que busque alojamiento, sabiendo que no busca vuelo. (4 puntos)

iii)

La probabilidad de que no busque ni vuelo ni alojamiento. (3 puntos)

EJERCICIO 6:

El gasto (en euros) por cliente en un supermercado sigue una distribución normal con varianza 64. Se selecciona una muestra de clientes, obteniéndose los siguientes gastos: 49.8, 34.4, 42.1, 55.7, 54.9, 53, 54.6, 53.3, 68.9 y 42.4.

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

i)

Calcule un intervalo de confianza al 93% para el gasto medio. [5 puntos]

ii)

Determine el tamaño de la muestra necesario para que el error máximo se reduzca a la mitad. [5 puntos]