Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Navarra 2023 · Extraordinaria

EJERCICIO 1:

i)

Clasifique el siguiente sistema en función del número de soluciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss. (7 puntos)

$$\begin{cases} x + y + 3z = 1 \\ 4x + 3y + 5z = 5 \\ 2x + y - z = 3 \end{cases}$$

Solución del sistema (en función del parámetro $\lambda$):

EJERCICIO 1:

ii)

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ k & -6 \end{pmatrix}$. Determine el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que el producto de ambas matrices conmute. (3 puntos)

EJERCICIO 2:

Una empresa utiliza dos máquinas distintas (M1 y M2) para fabricar tres tipos de láminas de acero (rayada, lisa y doblemente rayada). Una hora de trabajo de la máquina M1 fabrica 10 metros de lámina rayada, 50 metros de lámina lisa y 10 metros de lámina doblemente rayada. Una hora de trabajo de la máquina M2 fabrica 40 metros de lámina rayada, 20 metros de lámina lisa y 10 metros de lámina doblemente rayada. Cada hora de trabajo de las máquinas M1 y M2 tiene un coste de 800 euros y 100 euros, respectivamente. Sabiendo que la empresa tiene una demanda diaria de al menos 240 metros de lámina rayada, 300 metros de lámina lisa y 120 metros de lámina doblemente rayada, calcule cuántas horas deberá trabajar al día cada máquina para minimizar el coste de fabricación.

i)

Plantee el problema (función objetivo y restricciones considerando $x$ las horas diarias de M1 e $y$ las horas diarias de M2). [4 puntos]

$C(x, y) =$

$\ge 240$

$\ge 300$

$\ge 120$

Además de las restricciones de no negatividad: $x \ge 0$, $y \ge 0$.

ii)

Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema. [4 puntos]

horas

horas

euros

iii)

Analice gráficamente qué ocurriría si la demanda diaria de la lámina de acero lisa aumenta en 100 metros más respecto de la demanda actual. [2 puntos]

horas

horas

euros

Considere las funciones $f(x) = x + 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 3$.

i)

Calcule la derivada de la función $g(x)$ en el punto $x = 1$, aplicando la definición de derivada.

[3 puntos]

Considere las funciones $f(x) = x + 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 3$.

ii)

Dibuje el recinto del plano comprendido entre las funciones $f(x)$ y $g(x)$. Calcule el área de dicho recinto. (7 puntos)

El beneficio (en miles de euros) de una pequeña empresa de Navarra varía según la función:

$$B(t) = \begin{cases} -t^2 + 8t + 4 & \text{si } 0 \le t \le 7 \\ 2t - 3 & \text{si } 7 < t \le 10 \end{cases}$$

siendo $t$ el tiempo transcurrido en meses.

ii)

Estudie la continuidad de $B(t)$, clasificando en su caso los puntos de discontinuidad.

El beneficio (en miles de euros) de una pequeña empresa de Navarra varía según la función:

$$B(t) = \begin{cases} -t^2 + 8t + 4 & \text{si } 0 \le t \le 7 \\ 2t - 3 & \text{si } 7 < t \le 10 \end{cases}$$

siendo $t$ el tiempo transcurrido en meses.

i)

¿Cuál es el beneficio inicial de la empresa? [1 punto]

iii)

¿En qué mes se alcanza el beneficio máximo? ¿Cuál es ese beneficio máximo? [3 puntos]

meses

iv)

Represente la gráfica de la evolución del beneficio de esta empresa. [3 puntos]

i)

En un concurso se dispone de dos urnas. En la primera urna hay 15 bolas, 6 de ellas premiadas con un viaje, 5 bolas con un premio de 1.000 euros y 4 bolas sin premio. La segunda urna tiene 10 bolas (3 con viaje, 4 con 1.000 euros y 3 sin premio). Un concursante tiene que seleccionar al azar una bola de la primera urna e introducirla en la segunda urna. Tras esto, el concursante tiene que elegir una bola al azar de la segunda urna. Calcule la probabilidad de que la bola seleccionada no tenga premio. (5 puntos)

ii)

En una universidad se realizó una encuesta a los estudiantes acerca de sus hábitos de alimentación y ejercicio físico. El 40% realizaban 5 comidas al día y el 70% de los estudiantes hacían ejercicio físico regularmente. El 80% de los estudiantes que realizaban 5 comidas al día hacían ejercicio físico regularmente.

Se selecciona un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que ni realice 5 comidas al día ni haga ejercicio físico regularmente. (3 puntos)

Compruebe si los sucesos “comer 5 comidas al día” y “hacer ejercicio físico regularmente” son o no sucesos independientes. (2 puntos)

EJERCICIO 6:

El salario mensual (en euros) de los jóvenes de un país A sigue una distribución normal con varianza 40.000 euros 2, mientras que el salario mensual de los jóvenes de un país B sigue una distribución normal con desviación típica 300 euros. Se tomó una muestra de 169 jóvenes del país A y se obtuvo un salario mensual medio de 1.200 euros. A partir de una muestra de 49 jóvenes del país B, se calculó un salario mensual medio de 1.600 euros.

i)

Calcule un intervalo de confianza para el salario mensual medio de los jóvenes del país A y otro para el salario mensual medio de los jóvenes del país B, ambos con un nivel de confianza del 88%. Interprete las soluciones en el contexto del problema. (5 puntos)

ii)

Con los datos de la muestra del país B se ha calculado otro intervalo de confianza para el salario mensual medio: [1.525, 1.675]. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).