Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Murcia 2025 · Ordinaria

Dadas las matrices $A$, $B$ y $C$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

CUESTIÓN 1: [2,5 puntos]

[1,5 puntos] Dadas las matrices $A$, $B$ y $C$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

a)

Calcula $C^2$. [0,25 puntos]

$$\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} = ($$

$$\\\\$$

$$)$$

b)

Halla $A + B + C^2$. [0,25 puntos]

$$($$

$$\\\\$$

$$)$$

c)

Encuentra $(A - B)^{-1}$. [0,25 puntos]

$$($$

$$\\\\$$

$$)$$

d)

Resuelve la ecuación matricial $AX - BX = A + B + C^2$. [0,75 puntos]

$$($$

$$\\\\$$

$$)$$

Dadas las matrices $A$, $B$ y $C$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

[1 punto] Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} 3x+2y-z = 3 \\ x-y+2z = 4 \\ 2x+3y-z = 3 \end{cases}$$

$x =$

$y =$

$z =$

Dadas las matrices $A$, $B$ y $C$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

CUESTIÓN 2:

[2,5 puntos] Una empresa del sector informático produce dos tipos de ordenadores portátiles: notebooks y gaming. La empresa obtiene 400 euros de beneficio por cada notebook y 500 euros por cada gaming. El proceso de fabricación es complejo y tiene tres fases: (1) selección y fabricación de componentes; (2) ensamblaje y (3) control de calidad. Los notebooks necesitan 2, 1 y 1 horas en cada fase, respectivamente, mientras que los gaming necesitan 1, 4 y 2 horas. En cada fase hay un límite de 14, 16 y 10 horas diarias. Se pide:

a)

Si la empresa quiere maximizar el beneficio diario, formula el problema, identificando la función objetivo y las restricciones. [0,5 puntos]

b)

Representa la región factible. [0,75 puntos]

c)

Encuentra los vértices de esta región. [0,5 puntos]

d)

¿Cuántos ordenadores portátiles de cada tipo hay que producir para maximizar los beneficios diarios? [0,5 puntos]

e)

Calcula el beneficio máximo diario posible. [0,25 puntos]

euros

APARTADO 2 (a elegir una cuestión):

CUESTIÓN 1:

[3 puntos] Dada la función:

$$f(x) = \frac{x^2 + 3}{1 - x}$$

a)

Determina su dominio. [0,5 puntos]

$\mathbb{R} - \{$

$\}$

b)

Estudia sus asíntotas. [0,75 puntos]

$x =$

$y =$

c)

Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

d)

Calcula los máximos y mínimos locales. [0,75 puntos]

$($

,

$)$

$($

,

$)$

APARTADO 2 (a elegir una cuestión):

CUESTIÓN 2:

[3 puntos] El famoso rapero Myke Towers ofrecerá un concierto en Murcia el próximo 6 de junio en el Espacio Norte, que durará 5 horas. La asistencia al evento, medida en miles de personas, viene dada por la siguiente función:

$$N(t) = \frac{20t}{(t + 1)^2}$$

donde $0 \le t \le 5$ y $N$ es el número de miles de asistentes $t$ horas después del comienzo. Se pide:

a)

Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función $N(t)$. [1 punto]

b)

Calcula en qué hora se produce el máximo número de asistentes y a cuánto ascienden. [1,25 puntos]

horas

personas

c)

Evalúa e interpreta la derivada de la función $N(t)$ en $t = 2$. [0,25 puntos]

$N'(2) =$

d)

Halla cuántos asistentes hay una vez han transcurrido 3 horas desde el comienzo del concierto. [0,5 puntos]

personas

APARTADO 3 (a elegir una cuestión): CUESTIÓN 1

[2 puntos] Realiza:

a)

Si $\int_0^2 f(x)dx = 4$, ¿a qué es igual $\int_0^2 [f(x) + 3]dx$? [0,25 puntos]

b)

Representa gráficamente el recinto del plano limitado por $f(x) = x^2$ y $g(x) = 2x + 3$. Calcula su área. [1,75 puntos]

CUESTIÓN 2:

[2 puntos] Realiza:

a)

Calcula los valores de los límites de integración $a$ y $b$ de manera que se cumpla $\int_{-2}^1 f(x)dx + \int_1^5 f(x)dx = \int_a^b f(x)dx$. [0,25 puntos]

$a =$

$b =$

b)

Dada la función $f(x) = \frac{1}{2}e^{x/2}$:

b.1)

Escribe la integral que describe el área de la región sombreada. [0,5 puntos]

$\text{Área} = \displaystyle\int$

$dx$

b.2)

Calcula el área. [1,25 puntos]

$\text{u}^2$

APARTADO 4 (a elegir una cuestión):

CUESTIÓN 1:

[2,5 puntos] Un grupo de investigadores de la Universidad de Murcia realizó una encuesta en la que se preguntó a 1000 personas adultas su opinión sobre establecer una edad legal para que los niños tengan teléfono móvil. Según los resultados, 560 personas, de las que 390 eran mujeres, opinaron a favor de esta medida. De las 440 personas que opinaron en contra, 280 eran hombres. Si se selecciona una persona al azar:

a)

¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,25 puntos]

b)

¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer? [0,75 puntos]

c)

¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer o esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]

d)

Si esa persona seleccionada al azar es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]

APARTADO 4 (a elegir una cuestión):

CUESTIÓN 2:

[2,5 puntos] El peso, en kg, de los jugadores de fútbol de la Liga Nacional juvenil de la Región de Murcia sigue una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica igual a $12\text{ kg}$.

a)

Si en una muestra de 64 jugadores el peso medio ha sido de $70\text{ kg}$, calcula un intervalo de confianza con un $95\%$ de confianza para la media de los pesos de los jugadores de fútbol de la Liga Nacional juvenil de la Región de Murcia. [1 punto]

kg

kg

b)

Determina el tamaño mínimo que debe tener una muestra de jugadores para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor que $4\text{ kg}$ con un nivel de confianza del $98\%$. [0,75 puntos]

c)

Si $\mu = 71$ y se elige a un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pese más de $75\text{ kg}$? [0,75 puntos]