Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2023 · Ordinaria Coincidencias

Dada la matriz real $A = \begin{pmatrix} 2a & 1 & 1 \\ a & 3 & -6 \\ a+1 & 1 & a \end{pmatrix}$, se pide:

a)

Estudiar el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $a$.

b)

Calcular, en el caso de que exista, la inversa de $A$ para $a = 0$.

c)

Resolver el sistema $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ para el caso $a = 1$.

Dada la función $f(x) = x^3 + x^2 + x$, se pide:

a)

(1.25 puntos) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ con mínima pendiente.

b)

(1.25 puntos) Calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica $f(x)$ y la recta $y = x$.

Sean los planos $\pi_1: y = x$, $\pi_2: y = x + 1$, $\pi_3: z = -1$ y $\pi_4: z = 1$.

a)

(0.5 puntos) Compruebe que son paralelos los planos $\pi_1$ y $\pi_2$, y que son paralelos los planos $\pi_3$ y $\pi_4$.

b)

(0.5 puntos) Compruebe que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ son perpendiculares a los planos $\pi_3$ y $\pi_4$.

c)

(0.5 puntos) Halle una recta que sea paralela a los cuatro planos y pase por el punto $(1, 0, 2)$.

d)

(1 punto) Halle dos planos perpendiculares a $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ y $\pi_4$, que cumplan que el volumen del paralelepípedo comprendido entre los seis planos sea $1$.

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En los juegos de rol, cada vez que se lanza un ataque este puede resultar en golpe crítico o no.

a)

(1.25 puntos) En cierto juego de rol, para determinar si un ataque es crítico o no, se tira una moneda a cara o cruz. Si se obtiene una cruz, el ataque no será crítico. Por contra, si se obtiene una cara, entonces se lanza un dado de 10 caras numeradas del 1 al 10. Solo en caso de que también se obtenga una puntuación mayor o igual a 9 en el dado el ataque es crítico; en caso contrario el ataque no será crítico. Calcule la probabilidad de que, de entre 5 ataques lanzados, se obtengan 3 o menos golpes críticos.

b)

(1.25 puntos) En otro juego de rol se sabe que la probabilidad de ataque crítico es del $20\%$. Aproximando mediante una distribución normal, calcule la probabilidad de que, de entre 100 ataques, se obtengan no menos de 15 y no más de 25 golpes críticos.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0, 1)$, $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.

Un dietista veterinario ha establecido la alimentación diaria (en términos de grasas, carbohidratos y proteínas) de un quebrantahuesos pirenaico que se ha recogido en el hogar de recuperación de fauna en el que trabaja. Se sabe que el quebrantahuesos necesita $500\text{ g}$ de alimento al día y que necesita $2500\text{ Kcal}$. También se sabe que cada gramo de grasa proporciona $9\text{ Kcal}$, cada gramo de carbohidratos $4\text{ Kcal}$ y cada gramo de proteínas $4\text{ Kcal}$. Debido a que el ave ha llegado en un estado de debilidad, el veterinario estima que el consumo de carbohidratos debe ser $40\text{ g}$ más del doble de proteínas. Determine la cantidad de kilocalorías diaria que obtendrá el quebrantahuesos procedentes de grasas, de carbohidratos y de proteínas.

Dada la función $f(x) = \dfrac{|x^2 - x - 2|}{x^2 + 2x + 1}$, se pide:

a)

Hallar, si existen, las asíntotas de la gráfica de $f$.

b)

Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y calcular, si existen, sus extremos relativos.

Dadas la recta $r \equiv \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z + 2}{-1}$ y los planos $\pi: x + 2y + 2z - 1 = 0$ y $\pi': 2x + 2y + z + 4 = 0$, se pide:

a)

Comprobar que los planos $\pi$ y $\pi'$ se cortan. Hallar el ángulo que forman.

b)

Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$. Hallar, si es posible, el punto de corte.

c)

Hallar los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi$ y $\pi'$.

Siete de cada veinte personas que entran en cierta joyería acaban comprando algún artículo. El $75\%$ de las personas que se marchan sin comprar nada tienen menos de $50$ años y el $80\%$ de las personas que realizan alguna compra tienen al menos $50$ años. Entra un cliente en la joyería. Se pide:

a)

Calcular la probabilidad de que sea menor de $50$ años.

b)

Sabiendo que tiene como mínimo $50$ años, hallar la probabilidad de que salga de la tienda sin haber comprado nada.