Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2022 · Ordinaria Coincidencias

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro real $m$:

$$\begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ mx + (m+1)y - z = m-1 \\ -x - 2y + (2m-1)z = 1-m \end{cases}$$

a)

[2 puntos] Discuta el sistema en función de los valores de $m$.

b)

[0.5 puntos] Resuelva el sistema para el valor $m = 1$.

Sea la función $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x}$.

a)

[1 punto] Determine el dominio y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f(x)$.

b)

[1.5 puntos] Dada la función $g(x) = \dfrac{5 - x}{2}$, halle el área de la región acotada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$.

Sea la recta $r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda, \quad \lambda \in \mathbb{R} \\ z = 0 \end{cases}$ y el punto $P(1, 1, 0)$.

a)

[1 punto] Halle los puntos pertenecientes a la recta $r$ que distan de $P$ una unidad.

b)

[1.5 puntos] Halle unas ecuaciones de las rectas que pasan por $P$, son perpendiculares a $r$ y forman un ángulo $\dfrac{\pi}{3}$ radianes con la normal al plano $x = 0$.

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En una tienda se hace un estudio sobre la venta de dos productos A y B a lo largo de un mes. La probabilidad de que un cliente compre el producto A es de un 62 % y la de que compre el producto B es de un 40 %. Se observa, además, que el 12 % de los clientes compran al mismo tiempo el producto A y el producto B. Se pide:

a)

(0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un cliente haya comprado el producto A sabiendo que no ha adquirido el producto B.

b)

(0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un cliente no compre ni el producto A ni el producto B.

c)

(1 punto) Sabiendo que a lo largo de un mes visitan la tienda 3000 personas, calcular, utilizando la aproximación de la distribución binomial mediante la distribución normal, cuál es la probabilidad de que compren el producto B más de 1250 personas.

Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0, 1)$, $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} c & 8 \\ 1 & b+c \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & a+c & 4 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad C = \begin{pmatrix} a+2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Se pide:

a)

Calcular el valor de $a$ para que el sistema de ecuaciones $$C\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

sea compatible.

b)

Calcular los valores de $a, b$ y $c$ para que la multiplicación de dos de las matrices sea igual a la restante.

Sea $f(x)$ una función continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ tal que $f(1) = 2$, $f(2) = 1$, $f'(1) = 1$ y $f'(2) = 2$. Se consideran, además, las funciones $g(x) = (f(x))^2$ y $h(x) = (f \circ f)(x)$. Se pide:

a)

Calcular $g(2)$ y $g'(2)$.

b)

Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $h(x)$ en el punto $x = 1$.

c)

Probar, utilizando el Teorema del Valor Medio, que existe un punto en el intervalo $(1, 2)$ en el que el valor de la derivada de $f(x)$ es $-1$.

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

a)

[0,5 puntos] Calcule el ángulo formado por los vectores $\vec{u} = (0, 0, 1)$ y $\vec{v} = (0, 1, \sqrt{3})$.

b)

[1 punto] Sea $O$ el origen de coordenadas, y los puntos $A(2, 0, 0)$, $B(0, 3, 0)$ y $C(0, 2, 2\sqrt{3})$. Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por las tres aristas concurrentes $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$.

c)

[1 punto] Calcule una ecuación de la recta perpendicular común a las rectas $r$ y $s$, siendo $r$ la recta que pasa por $O$ y por $C$ y $s$ la recta de ecuaciones $y - 3 = 0,\ z = 0$.

Una influencer famosa publica en su Instagram un $20\%$ de fotografías dedicadas a viajes, un $50\%$ referentes a temas de moda y el resto sobre maternidad. El $5\%$ de las publicaciones de viajes reciben menos de 20 000 Me gusta y lo mismo ocurre con el $20\%$ de las de moda y con el $35\%$ de las que tratan asuntos de maternidad. Elegida una fotografía al azar, se pide:

a)

Determinar la probabilidad de que tenga más de 20 000 Me gusta.

b)

Si tiene menos de 20 000 Me gusta, calcular la probabilidad de que el tema tratado en ella haya sido sobre viajes.