Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2023 · Ordinaria

En una obra, para transportar la tierra extraída para la construcción de los cimientos de un edificio, se usan tres tipos de camiones diferentes: $A$, $B$ y $C$. Los camiones de tipo $A$ tienen una capacidad de $14$ toneladas, los de tipo $B$, de $24$ toneladas y los de tipo $C$, de $28$ toneladas. Habría que traer un camión más de tipo $A$ para igualar al número de camiones restantes. El $10\,\%$ de la capacidad de todos los camiones tipo $B$ supone un séptimo de la de los de mayor tonelaje. Hoy, realizando un único viaje cada camión a máxima capacidad, se han extraído de la obra $302$ toneladas de tierra. ¿Cuánta tierra ha sido transportada hoy por los camiones de cada tipo?

Dada la función $f(x) = \sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}$, se pide:

a)

(0.25 puntos) Estudiar si es par o impar.

b)

(0.75 puntos) Estudiar su derivabilidad en el punto $x = 1$.

c)

(1.5 puntos) Estudiar sus extremos relativos y absolutos.

Sean los puntos $A(1, -2, 3)$, $B(0, 2, -1)$ y $C(2, 1, 0)$. Se pide:

a)

Comprobar que forman un triángulo $T$ y hallar una ecuación del plano que los contiene:

b)

Calcular el corte de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ con el plano $z = 1$:

Punto de corte: (

,

,

)

c)

Se tiene un suceso $A$ de probabilidad $P(A) = 0.3$.

a)

Un suceso $B$ de probabilidad $P(B) = 0.5$ es independiente de $A$. Calcule $P(A \cup B)$:

b)

Otro suceso $C$ cumple $P(C \mid A) = 0.5$. Determine $P(A \cap \overline{C})$:

c)

Si se tiene un suceso $D$ tal que $P(\overline{A} \mid D) = 0.2$ y $P(D \mid A) = 0.5$, calcule $P(D)$:

Dado el sistema

$\begin{cases}

(a+1)x + 4y & = 0 \\

(a-1)y + z & = 3 \\

4x + 2ay + z & = 3

\end{cases}$

se pide:

a)

Discutirlo en función del parámetro $a$.

b)

Resolverlo para $a = 3$.

c)

Resolverlo para $a = 5$.

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función real de variable real definida sobre su dominio como $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{2+x^2} & \text{si } x \le -1 \\ \dfrac{2x^2}{3-3x} & \text{si } x > -1 \end{cases}$$, se pide:

a)

[0.75 puntos] Estudiar la continuidad de la función en $\mathbb{R}$.

b)

[1 punto] Calcular el siguiente límite: $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)^{2x^2-1}$.

c)

[0.75 puntos] Calcular la siguiente integral: $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\,dx$.

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+1}{-2}$, el plano $\pi: x - z = 2$ y el punto $A(1, 1, 1)$, se pide:

a)

[0.75 puntos] Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$ y calcular su intersección, si existe.

($\,$,, $\,$)

b)

[0.75 puntos] Calcular la proyección ortogonal del punto $A$ sobre el plano $\pi$.

($\,$,, $\,$)

c)

[1 punto] Calcular el punto simétrico del punto $A$ con respecto a la recta $r$.

($\,$,, $\,$)

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

La longitud de la sardina del Pacífico ( Sardinops sagax) se puede considerar que es una variable aleatoria con distribución normal de media $175\text{ mm}$ y desviación típica $25{,}75\text{ mm}$.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0, 1)$, $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.

a)

Una empresa envasadora de esta variedad de sardinas solo admite como sardinas de calidad aquellas con una longitud superior a $16\text{ cm}$. ¿Qué porcentaje de las sardinas capturadas por un buque pesquero serán de la calidad que espera la empresa envasadora? [1 punto]

%

b)

Hallar una longitud $t < 175\text{ mm}$ tal que entre $t$ y $175\text{ mm}$ estén el $18\%$ de las sardinas capturadas. [0.5 puntos]

c)

En altamar se procesan las sardinas en lotes de 10. Posteriormente se devuelven al mar las sardinas de cada lote que son menores de $15\text{ cm}$ por considerarlas pequeñas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote haya al menos una sardina devuelta por pequeña? [1 punto]