Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2025 · Ordinaria

En el baloncesto existen canastas que valen un punto, otras que valen dos y otras que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que:

El equipo anotó $80$ puntos con un acierto del $80\%$ en tiros de uno, del $50\%$ en tiros de dos y del $40\%$ en tiros de tres.

La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos.

El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.

Sean la matriz $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

e $I$ la matriz identidad de orden 3. Se pide:

a)

(1.25 puntos) Calcular el polinomio $P(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ y hallar las raíces reales del polinomio.

b)

(1.25 puntos) Para $\lambda = 5$, calcular un vector no nulo $$\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ que satisfaga que $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$.

$x =$

$y =$

$z =$

Un muro rectangular de la biblioteca pública del barrio se va a pintar con la ayuda de unos grafiteros. La dimensión del muro es de $3$ metros de alto y $12$ metros de largo. Colocando la esquina inferior izquierda del muro en el origen de coordenadas, se va a utilizar la curva $f(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{9}\right) + 2$ para diferenciar dos regiones del muro que serán pintadas con dos colores distintos. Se sabe que con un bote de spray se pueden pintar $3$ metros cuadrados de superficie.

a)

Halle el valor máximo y el valor mínimo de la función $f(x)$ en el intervalo $[0, 12]$. ¿Está la curva en este intervalo $[0, 12]$ contenida completamente en el muro? [0,75 puntos]

Sí

No

b)

Halle el área que tienen que pintar de cada color. [1,25 puntos]

c)

¿Cuántos botes de spray se tienen que comprar como mínimo para pintar toda el área bajo la curva $f(x)$? [0,5 puntos]

Dados la recta $r \equiv \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{0} = \dfrac{z - 2}{1}$ y el plano $\pi: x + 2y - 3z = 1$, se pide:

a)

[0,75 puntos] Hallar una ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

b)

[0,75 puntos] Hallar una ecuación de la recta contenida en $\pi$ que corta perpendicularmente a $r$.

c)

[1 punto] Calcular los puntos de la recta $r$ cuya distancia al plano $\pi$ es $\sqrt{14}$.

Sean el punto $P(0, 1, 1)$ y el plano $\pi: x + y = 2$. Se pide:

a)

(0.5 puntos) Hallar la distancia del punto $P$ al plano $\pi$.

b)

(1 punto) Determinar el punto $Q$ del plano $\pi$ cuya distancia a $P$ es igual que la distancia de $P$ a $\pi$.

(

,

,

)

c)

(1 punto) Hallar el área del triángulo formado por $P$ y los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados.

Sea $E = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$ un espacio muestral y $P$ una medida de probabilidad en $E$ definida por: $P(7) = P(3) = \dfrac{1}{4}$ y con el resto de sucesos elementales equiprobables.

Se consideran los sucesos $A = \{7, 11, 13, 19\}$, $B = \{2, 5, 7, 13, 17\}$ y $C = \{3, 5, 7, 11, 13\}$. Se pide calcular:

a)

Calcular $P\left(\overline{(A - C)} \cap B\right)$:

b)

Calcular $P((A \cap B) \mid \overline{C})$:

Entre los ciudadanos de 14 años o más de cierto país, el 20% de la población tiene entre 14 y 24 años, el 50% entre 25 y 64 y el resto más de 64 años. Según datos recogidos por el ministerio de cultura de ese país, el 74% de sus ciudadanos de entre 14 y 24 es lector habitual, mientras que el porcentaje decrece hasta el 65.8% entre los de 25 a 64 y al 53.7% entre los mayores de 64. Elegido un ciudadano al azar del país en cuestión de 14 años o más, se pide:

a)

[1,25 puntos] Calcular la probabilidad de que sea lector habitual.

b)

[1,25 puntos] Si no es lector habitual, calcular la probabilidad de que tenga entre 25 y 64 años.