Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2020 · Extraordinaria

Sea $A$ una matriz de tamaño $3\times 4$ tal que sus dos primeras filas son $(1, 1, 1, 1)$ y $(1, 2, 3, 4)$, y sin ningún cero en la tercera fila. En cada uno de los apartados siguientes, se pide poner un ejemplo de matriz $A$ que verifique la condición pedida, justificándolo apropiadamente:

a)

La tercera fila de $A$ es combinación lineal de las dos primeras.

b)

Las tres filas de $A$ son linealmente independientes.

c)

$A$ es la matriz ampliada de un sistema compatible determinado.

d)

$A$ es la matriz ampliada de un sistema compatible indeterminado.

e)

$A$ es la matriz ampliada de un sistema incompatible.

Dada la función$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x-1}{x^2-1} & \text{si } x < 1,\ x \neq -1 \\[10pt] \dfrac{x^2+1}{4x} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$se pide:

a)

Calcular $f(0)$ y $(f \circ f)(0)$.

b)

Estudiar la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x = 1$ y determinar si en dicho punto existe un extremo relativo.

c)

Estudiar sus asíntotas.

Dados el punto $P(3, 3, 0)$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-2}{-1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+1}{0}$, se pide:

a)

Escribir la ecuación del plano que contiene al punto $P$ y a la recta $r$.

b)

Calcular el punto simétrico de $P$ respecto de $r$.

$($ $,$ $,$ $)$

c)

Hallar dos puntos $A$ y $B$ de $r$ tales que el triángulo $ABP$ sea rectángulo, tenga área $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$ y el ángulo recto en $A$.

Se tienen tres urnas $A$, $B$ y $C$. La urna $A$ contiene $4$ bolas rojas y $2$ negras, la urna $B$ contiene $3$ bolas de cada color y la urna $C$ contiene $6$ bolas negras. Se elige una urna al azar y se extraen de ella dos bolas de manera consecutiva y sin reemplazamiento. Se pide:

a)

Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja.

b)

Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra.

c)

Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcular la probabilidad de que la segunda sea negra.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Se pide:

a)

Calcular, si es posible, la inversa de la matriz $A$. Escribe los elementos de $A^{-1}$ por filas:

b)

Calcular la matriz $C = A^2 - 2I$. Escribe los elementos de $C$ por filas:

c)

Calcular el determinante de la matriz $D = A B B^t$ (donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de $B$):

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

La potencia generada por una pila viene dada por la expresión $P(t) = 25\,t\,e^{-t^2/4}$, donde $t > 0$ es el tiempo de funcionamiento.

a)

(0.5 puntos) Calcular hacia qué valor tiende la potencia generada por la pila si se deja en funcionamiento indefinidamente.

b)

(0.75 puntos) Determinar la potencia máxima que genera la pila y el instante en el que se alcanza.

c)

(1.25 puntos) La energía total generada por la pila hasta el instante $t$, $E(t)$, se relaciona con la potencia mediante $E'(t) = P(t)$, con $E(0) = 0$. Calcular la energía producida por la pila entre el instante $t = 0$ y el instante $t = 2$.

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Del paralelogramo $ABCD$, se conocen los vértices consecutivos $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ y $C(4, 3, -2)$. Se pide:

a)

(1 punto) Calcular una ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento $AC$ y es perpendicular a los segmentos $AC$ y $BC$.

b)

(1 punto) Hallar las coordenadas del vértice $D$ y el área del paralelogramo resultante.

c)

(0.5 puntos) Calcular el coseno del ángulo que forman los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

En un experimento aleatorio hay dos sucesos independientes $X, Y$. Sabemos que $P(X) = 0.4$ y que $P(X \cap \overline{Y}) = 0.08$ (donde $\overline{Y}$ es el suceso complementario de $Y$). Se pide:

a)

Calcular $P(Y)$.

b)

Calcular $P(X \cup Y)$.

c)

Si $X$ es un resultado no deseado, de manera que consideramos que el experimento es un éxito cuando NO sucede $X$, y repetimos el experimento en 8 ocasiones, hallar la probabilidad de haber tenido éxito al menos 2 veces.