Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2025 · Extraordinaria

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:

$$\begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ k + 1 & 1 & -k \\ 1 & k + 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 2k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

Se pide:

a)

(1.5 puntos) Discutir el sistema en función de los valores de $k$.

b)

(1 punto) Resolver el sistema para $k = 0$.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$, se pide:

a)

Hallar las matrices simétricas $B$ que verifiquen $BA = (A + A^2)B$.

Escribe los elementos de la matriz $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ en función del parámetro $\lambda$:

$B =$

, con $\lambda \in \mathbb{R}$

b)

Con la matriz $A_1 = A$, se consideran las matrices $A_2 = A_1^2 + A_1$, $A_3 = A_2^2 + A_2$, $A_4 = A_3^2 + A_3$ y así sucesivamente. Hallar $A_{2025}$.

Escribe los elementos de la matriz $A_{2025} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$:

$A_{2025} =$

Un agricultor dispone de 120 metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono. Los vértices del pentágono se nombrarán consecutivamente como $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$. Se sabe que $A$, $B$, $D$ y $E$ forman un rectángulo, y que el punto $C$ se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilátero con los puntos $B$ y $D$.

¿A qué distancia del vértice $A$ debe ubicar los vértices $B$ y $E$ si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?

m

m

Sean los puntos $A(1,1,2)$, $B(2,-1,0)$, $C(-2,0,3)$ y $D(2,-3,-1)$ y la recta:

$$r \equiv \frac{x-1}{2} = y+1 = \frac{z}{-1}$$

a)

[0.5 puntos] Compruebe que los puntos no son coplanarios y calcule el volumen del tetraedro determinado por ellos.

¿Son los puntos $A, B, C, D$ coplanarios?

$V =$

b)

[1 punto] Calcule el área de la cara del tetraedro $ABCD$ determinada por los puntos $A$, $B$ y $C$ y la longitud de la altura del tetraedro que parte del vértice $D$.

$\text{Área} =$

$h =$

c)

[1 punto] Calcule la distancia entre la recta $r$ y la recta determinada por los puntos $B$ y $D$.

$d =$

Dados los puntos $A(0, 0, 1)$ y $B(1, 0, 1)$, se pide:

a)

[1 punto] Hallar una ecuación del plano paralelo al eje $OZ$ y que pasa por los puntos $A$ y $B$.

b)

[1.5 puntos] Hallar una ecuación de una recta perpendicular al plano $z = 1$ que diste una unidad tanto del punto $A$ como del punto $B$.

Bloque 4. Pregunta 4.1

En base a un estudio de los datos antropométricos de la población laboral española en hombres se considera que la masa, en kilogramos, de un individuo de esta población es una variable normal de media $75{,}67$ y desviación típica $11{,}05$. Se pide:

Distribución Normal $N(0, 1)$. Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0, 1)$, $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.

a)

(0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa entre 60 y 80 kilogramos.

b)

(0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa superior a 100 kilogramos.

c)

(1 punto) Elegidos diez hombres distintos al azar en esta población calcular la probabilidad de que no más de uno supere los 100 kilogramos.

La probabilidad de que un corredor sufra una caída en un día con lluvia es de $0{,}08$ y en un día seco es de $0{,}004$. La probabilidad de que llueva y se caiga es de $0{,}032$. Hoy un corredor ha salido. Se pide:

a)

b)