Opción A - Ejercicio 4 · Matemáticas II PAU Madrid Modelo 2019

Tema: Probabilidad · Del examen Modelo (2019)

Enunciado

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

El examen de oposición a la Administración Local de cierta ciudad consta de 300 preguntas, con respuesta verdadero o falso. Un opositor responde al azar todas las preguntas. Se considera la variable aleatoria XX ("número de respuestas acertadas") y se pide:

a)

(1.5 puntos) Justificar que la variable XX se puede aproximar por una normal y obtener los parámetros correspondientes.

b)

(1 punto) Utilizando la aproximación por la normal, hallar la probabilidad de que el opositor acierte a lo sumo 130 preguntas y la probabilidad de que acierte exactamente 160 preguntas.

DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0, 1)

Ejemplo: si ZZ tiene distribución N(0,1)N(0, 1), P(Z<0,45)=0,6736P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736.

Enunciado: Opción A - Ejercicio 4 · Matemáticas II PAU Madrid Modelo 2019

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Media de la distribución normal aproximada

Solución: 150

a) Desviación típica de la distribución normal aproximada

Solución: 8,66 / √75 / 5√3

a) Justificar que la variable X se puede aproximar por una normal

Solución: Como n=300≥30n = 300 \ge 30, n⋅p=150≥5n \cdot p = 150 \ge 5 y n⋅(1−p)=150≥5n \cdot (1 - p) = 150 \ge 5, se puede aproximar mediante una normal Y∼N(150; 8,66)Y \sim N(150;\, 8{,}66).

b) Probabilidad de que el opositor acierte a lo sumo 130 preguntas

Solución: 0,0122

b) Probabilidad de que acierte exactamente 160 preguntas

Solución: 0,0226

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