Examen de Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha 2026 · Extraordinaria

PARTE A

Pregunta 1. En un estudio sobre hábitos de consumo digital, se observa que la edad de las personas suscritas a plataformas de películas y series en streaming puede modelizarse mediante una distribución normal de media $34$ años y desviación típica de $6$ años.

Sea $X$ la variable aleatoria que representa la edad, en años, de una persona suscrita elegida al azar. Calcula:

a)

[1 punto] La probabilidad de que una persona suscrita elegida al azar tenga una edad comprendida entre $28$ y $46$ años.

b)

[1 punto] La edad $K$ tal que el $15,87\%$ de las personas suscritas tenga una edad superior a $K$ años.

años

Tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$:

En la toma de un antibiótico vía oral, la concentración en sangre (mg/l) tras su administración se puede modelizar como la función $$C(t) = \frac{12t}{t^2+4}$$ donde $t$ es el tiempo transcurrido, en horas, desde la toma.

a)

[1 punto] Determina el momento en el que la concentración en sangre es máxima.

En la toma de un antibiótico vía oral, la concentración en sangre (mg/l) tras su administración se puede modelizar como la función $$C(t) = \frac{12t}{t^2+4}$$ donde $t$ es el tiempo transcurrido, en horas, desde la toma.

b)

[1 punto] La concentración media de dicho medicamento en el intervalo de tiempo $[a, b]$ viene dada por la expresión $\frac{1}{b-a}\cdot \int_a^b C(t)\,dt$. Calcula la concentración media entre las 0 y 6 horas.

Pregunta 3.

$$A = \begin{pmatrix} a & a-1 & a^2-a \\ a & 1 & a \\ a & 1 & a-1 \end{pmatrix}$$

a)

[1,5 puntos] Estudia el rango de la siguiente matriz, en función del parámetro real $a$.

b)

[0,5 puntos] ¿Para qué valores de $a$ la matriz $A$ tiene inversa? Justifica tu respuesta.

4.1. Se consideran los puntos $A(1, 1, 0)$, $B(2, 0, 1)$, $C(0, 2, 1)$ y $D(a, 1, 2)$, con $a$ un número real.

a)

[0,75 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$.

b)

[1,25 puntos] Determina los valores reales del parámetro $a$, para que el tetraedro formado por los cuatro puntos del enunciado tenga volumen 3 unidades cúbicas.

4.2. Sean los puntos del espacio $A(1, 2, -1)$, $B(3, 6, 1)$ y $C(m, m, m-2)$, donde $m$ es un número real.

a)

[0,75 puntos] Determina el valor de $m$ para que los puntos $A$, $B$ y $C$ estén alineados.

b)

[1,25 punto] Para el valor de $m$ obtenido en el apartado anterior, determina la distancia del punto $P(2,0,1)$ a la recta que forman $A$, $B$ y $C$.

Pregunta 5. Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (5.1 o 5.2)

5.1. Dada la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$

a)

[1 punto] Halla, razonadamente, los coeficientes $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto de coordenadas $(1,4)$ y que la recta tangente en el punto de abscisa $x=3$ es paralela a la recta de ecuación $y = 2x - 1$

b)

[1 punto] Para los valores de los coeficientes obtenidos en el apartado anterior, determina la ecuación de la recta normal a $f(x)$ en $x=0$.

Pregunta 5. Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (5.1 o 5.2)

a)

[1,25 puntos] Calcula razonadamente el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = \frac{3}{x}$ y $g(x) = -x + 4$.

u²

Pregunta 5. Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (5.1 o 5.2)

5.2. Resuelve los siguientes apartados

b)

[0,75 puntos] Calcula razonadamente el siguiente límite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \operatorname{sen} x - 1}{x^2}$$