Problema 2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares Extraordinaria 2022

Donades les matrius

$$X = \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \quad Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & k \end{pmatrix}$$

a)

Trobau els valors de $k$ per als quals $Y$ és invertible. [3 punts]

b)

Trobau la inversa de $Y$ per a $k = 1$. [3 punts]

c)

Determinau els valors de $m$ i $n$ per als quals la matriu $X$ compleix

$$X^2 - 4X + n\,Id = 0,$$

on $Id$ denota la matriu identitat $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $0$ la matriu nul·la $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. [4 punts]