Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias 2021 · Extraordinaria

1A. Un bar realiza todas las semanas un pedido de cerveza y vino a uno de sus dos proveedores. El proveedor $A$ le vende la cerveza a un euro el litro y el vino a dos euros el litro. El proveedor $B$ le vende la cerveza al mismo precio que el $A$, pero el litro de vino se lo vende a $m$ euros. Si realiza el pedido semanal al proveedor $A$ paga $1000$ euros, mientras que si lo realiza al proveedor $B$ paga $500m$ euros.

a)

[0,5 puntos] Plantea un sistema de ecuaciones (en función de $m$) donde las incógnitas $x$ e $y$ sean los litros de cerveza y vino, respectivamente, comprados cada semana.

b)

[2 puntos] ¿Para qué valores de $m$ el sistema anterior tiene solución? En caso de existir, ¿es siempre única? ¿Es posible que el precio del litro de vino en el proveedor $B$ sea también de dos euros? En caso afirmativo, ¿cuánto vino compra por semana, si el pedido semanal de cerveza es de $400$ litros? Determina la cantidad de cerveza y vino comprada semanalmente en cualquier otro caso, es decir, cuando el precio del litro de vino en el proveedor $B$ no sea de dos euros.

Sí

No

litros

litros

litros

1B. Las cantidades mínimas diarias recomendadas que debe ingerir una determinada mascota son: 6 unidades de hidratos de carbono, 18 unidades de proteínas y 4 unidades de grasas. Una empresa dedicada al cuidado de este tipo de mascotas plantea diseñar una dieta para las mismas basada en el consumo de latas de dos marcas distintas $M_1$ y $M_2$. Se sabe que cada lata de la marca $M_1$ contiene 3 unidades de hidratos de carbono, 3 unidades de proteínas y 1 unidad de grasas y que cada lata de la marca $M_2$ contiene 1 unidad de hidratos de carbono, 9 unidades de proteínas y 1 unidad de grasas. Además se sabe que el precio de cada lata de la marca $M_1$ es de 22 euros y que el precio de cada lata de la marca $M_2$ es de 24 euros.

a)

[1,75 puntos] ¿Cuántas latas de cada tipo se puede dar en un día a la mascota para cumplir todos los requisitos anteriores relativos a su dieta? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se le podría dar una lata de la marca $M_1$ y dos latas de la marca $M_2$?

Sí

No

b)

[0,75 puntos] ¿Cuántas latas de cada tipo se debería dar en un día a la mascota para que el precio de su alimentación sea mínimo? ¿y para minimizar el número de latas de tipo $M_1$ que come ese día?

Latas de $M_1$:

Latas de $M_2$:

Latas de $M_1$:

Latas de $M_2$:

Se ha investigado la energía que produce una placa solar ($f$) en función del tiempo transcurrido, en horas, desde que amanece ($x$), obteniéndose que:

$$f(x) = \begin{cases} 10x - x^2 & \text{si } 0 \leq x \leq 8 \\ \frac{a}{x^2} & \text{si } 8 < x \leq 12 \end{cases}$$

a)

[0,75 puntos] Determina el valor de $a$ para que la energía producida varíe de forma continua al variar el tiempo transcurrido desde que amanece.

b)

[1,75 puntos] Considerando el valor de $a$ obtenido en el apartado anterior, estudia y representa gráficamente la función $f$ en todo su dominio. ¿En qué momento del día la placa produce más energía? ¿Cuánta energía produce en ese momento?

horas

Dada la función $f(x) = x^3 + 3x^2$, se pide:

a)

[0,5 puntos] Encontrar la primitiva $F$ de $f$ verificando que $F(2) = 10$.

b)

[2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función $f$ en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva y el eje $X$ entre $x = -3,2$ y $x = -2$.

Los cursos de monitor de esquí en determinada estación se reparten en tres turnos, $A$, $B$ y $C$. Los alumnos del turno $A$ representan el $20\%$ del alumnado, los del turno $B$ representan el $30\%$ del alumnado y los del turno $C$ representan el $50\%$ restante. Además se sabe que el porcentaje de alumnos que aprueban el curso es del $95\%$ en el turno $A$, $90\%$ en el $B$ y $92\%$ en el $C$. Si se elige un alumno al azar,

a)

[1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado el curso y no sea del turno $B$?

b)

[1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado el curso o sea del turno $B$?

En el primer curso de un grado, el $60\%$ de los estudiantes son mujeres y el $40\%$ restante son hombres. Además se sabe que el $80\%$ de las mujeres y el $75\%$ de los hombres aprobaron el examen de matemáticas. Si se elige un estudiante de ese curso al azar,

a)

[1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y haya suspendido matemáticas?

b)

[1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado matemáticas?

Se quiere hacer un estudio para estimar el porcentaje de declaraciones de la renta que son fraudulentas.*

a)

[1 punto] ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para que pueda estimarse la verdadera proporción de declaraciones fraudulentas a partir de la proporción muestral con un error de estimación máximo de $0,026$ y un nivel de confianza del $90\%$?

b)

[1,5 puntos] En una muestra aleatoria de $1000$ declaraciones se obtuvo que $110$ de ellas eran fraudulentas. En función de esta muestra obtén, con un nivel de confianza del $90\%$, un intervalo para estimar la proporción de declaraciones fraudulentas.

* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1:

$F(1,28) = 0,90$; $F(1,64) = 0,95$; $F(1,96) = 0,975$; $F(2,33) = 0,99$ y $F(2,58) = 0,995$.

4B. Una fábrica de quesos quiere estudiar el tiempo que tarda el producto en estropearse si no se envasa. Para ello, considera una muestra de $324$ quesos y observa que el tiempo medio hasta que se estropean es de $27$ días. Se supone además que el tiempo hasta que se estropea el producto sigue una distribución normal con desviación típica $4$ días. *

a)

[1,5 puntos] Construye un intervalo de confianza para el tiempo medio que tarda en estropearse este tipo de queso al $99\%$ de confianza.

b)

[1 punto] ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero tiempo medio a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de $0,5$ días y un nivel de confianza del $99\%$?

* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1:

$F(1{,}28) = 0{,}90$; $F(1{,}64) = 0{,}95$; $F(1{,}96) = 0{,}975$; $F(2{,}33) = 0{,}99$ y $F(2{,}58) = 0{,}995$.