Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias 2023 · Extraordinaria

Pregunta 1. En una fiesta se bebieron $m$ copas de vino tinto por cada una de vino blanco. Cada copa (sea de vino tinto o blanco) contiene $0.15$ litros y en total se tomaron $3\cdot m$ litros de vino.

a)

[0.5 puntos] Plantea un sistema de dos ecuaciones en función del parámetro $m$ donde las incógnitas $x$ e $y$ sean el número de copas de vino tinto y blanco, respectivamente.

b)

[2 puntos] ¿Para qué valores de $m$ el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? ¿Cuántas copas se tomaron de cada tipo si en total se consumieron $9$ litros de vino?

$m =$

Pregunta 2. Una empresa que usa dos tamaños de vehículos debe renovar su flota. Cada vehículo grande le costará 30 000 euros; cada vehículo pequeño, 20 000 euros y dispone de un presupuesto total de 500 000 euros para comprar vehículos. Debe comprar a lo sumo el doble de vehículos grandes que pequeños. El mantenimiento anual de cada vehículo pequeño lo calcula en 300 euros; el de cada uno grande, en 600 euros y dispone de un presupuesto anual total de 9000 euros para mantenimiento.

a)

[1.75 puntos] ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede comprar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían comprar 8 vehículos grandes y 20 pequeños?

b)

[0.75 puntos] El beneficio esperado por cada vehículo grande es de 10 000 euros y por cada uno pequeño, de 6000 euros. ¿Cuántos vehículos debe comprar de cada tipo para maximizar el beneficio esperado? ¿Cuál sería ese beneficio esperado?

Pregunta 3. El consumo energético de una comunidad de vecinos durante una mañana se ajusta aproximadamente a la siguiente función donde $x$ representa las horas transcurridas desde las 6:00 de la mañana:

$$f(x) = \begin{cases} a(x+2) & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 3(x^2 - 6x + 12) & \text{si } 2 < x \le 4 \\ -x^2 + 11x - 16 & \text{si } 4 < x \le 8 \end{cases}$$

a)

[0.75 puntos] Estudia la continuidad de la función. Determina el valor de $a$ para que dicha función sea continua en todo su dominio.

b)

[1.75 puntos] Considerando el valor de $a$ obtenido en el apartado anterior, estudia y representa gráficamente $f$ en todo su dominio. ¿En qué momento el consumo es máximo? ¿Y mínimo?

Pregunta 4. Dada la función $f(x) = e^x + 2$, se pide:

a)

[0.5 puntos] Encontrar la primitiva $F$ de $f$ verificando que $F(0) = 3$.

b)

[2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función $f$ en todo su dominio y calcular el área limitada por la curva y el eje $X$ entre $x = -1$ y $x = 2$.

El 80 % de los empleados de una empresa hablan inglés y el 25 % de todos los empleados hablan alemán. Además el 20 % de los empleados que hablan inglés, también hablan alemán.

a)

[1.25 puntos] Elegido un empleado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hable inglés pero no alemán?

b)

[1.25 puntos] Elegido al azar un empleado entre los que hablan alemán, ¿cuál es la probabilidad de que no hable inglés?

Pregunta 6. El 30 % de los pasajeros que volaron con una compañía aérea el mes pasado lo hicieron por trabajo. De ellos, el 80 % tienen tarjeta de fidelidad. Entre los pasajeros que volaron por causas diferentes al trabajo, el 40 % tienen tarjeta de fidelidad.

a)

[1.25 puntos] Elegido un pasajero del mes pasado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga tarjeta de fidelidad?

b)

[1.25 puntos] Entre los pasajeros con tarjeta de fidelidad del mes pasado se eligió uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que volase por trabajo?

Pregunta 7. En una región se realiza un estudio sobre jóvenes (menores de 25 años) con carné de conducir.

a)

[1 punto] Se quiere estimar el verdadero porcentaje de jóvenes que tienen carné de conducir con un nivel de confianza del 95 %, ¿cuál es el número mínimo de jóvenes que deberían ser entrevistados para que el error de estimación fuese menor o igual de 0.1?

b)

[1.5 puntos] Finalmente, se tomó una muestra de 140 jóvenes y se observó que 120 tenían carné de conducir. Halla, con un nivel de confianza del 99 %, un intervalo para estimar la proporción de jóvenes que tienen carné de conducir en esa región.

* Algunos valores de la función de distribución de la normal de media 0 y desviación típica 1: F(1.28) = 0.90, F(1.64) = 0.95, F(1.96) = 0.975, F(2.33) = 0.99 y F(2.58) = 0.995.

Pregunta 8. Un local que vende comida a domicilio trata de estimar el tiempo medio que sus repartidores tardan en entregar el pedido desde que lo recogen en el local. En una muestra de 200 pedidos se obtuvo un tiempo medio de 17.5 minutos. Se supone que el tiempo de reparto de un pedido, en minutos, se puede aproximar por una distribución normal con desviación típica 4 minutos.*

a)

[1.5 puntos] Construye un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 99 %, para el tiempo medio de entrega de esos repartidores.

b)

[1 punto] ¿Cuál es el error de estimación en el intervalo anterior? Si, basándonos en la misma muestra, quisiésemos obtener un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 99.5 %, ¿el error sería mayor o menor que el obtenido en el apartado anterior?

* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: F(1.28) = 0.90, F(1.64) = 0.95, F(1.96) = 0.975, F(2.33) = 0.99 y F(2.58) = 0.995.