Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias 2024 · Extraordinaria

Pregunta 1. Sean las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & m \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & m \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 0 & 2m \\ -2m & -1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, E = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

a)

[1 punto] Si $(A - B \cdot C) \cdot D = E$, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por $x$ e $y$) en función del parámetro $m$.

b)

[1.5 puntos] ¿Para qué valores de $m$ el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para $m = -1$.

Pregunta 2. El aforo de un local en el que se ofrecerá un espectáculo infantil es de 180 personas...

a)

[1.75 puntos] ¿Cuántos adultos y cuántos menores pueden asistir al espectáculo? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podrían asistir 40 adultos y 35 niños?

b)

[0.75 puntos] Para maximizar ingresos, ¿cuántos adultos y cuántos menores deberían asistir? ¿Cuáles serían los ingresos en ese caso?

Pregunta 3. El tiempo en minutos que un empleado tarda en completar cierta tarea ($f$) se puede expresar en función de las horas de experiencia ($x$)...

a)

[0.75 puntos] Determina el valor de «a» para que el tiempo de ejecución de la tarea sea continuo entre 0 y 300 horas.

b)

[1.75 puntos] Considerando el valor de «a» obtenido... estudia y representa gráficamente la función. ¿Cuál es el tiempo máximo que puede tardar un empleado? ¿Y el mínimo?

Pregunta 4. Dada la función $f(x) = -x^2 - 2x + 3$, se pide:

a)

[0.5 puntos] Encontrar la primitiva $F$ de $f$ verificando que $F(1) = 1$.

b)

[2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función $f$ en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva $f$ y el eje X entre $x = -2$ y $x = 2$.

Pregunta 5. El $60\,\%$ de las viviendas anunciadas en una inmobiliaria se alquilan, el resto se venden. Por otra parte, el $30\,\%$ de las viviendas que se alquilan y el $60\,\%$ de las que se venden son chalés. El resto son pisos.

a)

[1.25 puntos] Si se elige un piso al azar en esa inmobiliaria, ¿cuál es la probabilidad de que se alquile?

b)

[1.25 puntos] Si se elige una vivienda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté en venta o sea un chalé?

Pregunta 6. De cierta región se sabe que el $40\,\%$ de los habitantes tienen hijos, el $20\,\%$ de los habitantes tienen estudios superiores y el $5\,\%$ de los habitantes tienen tanto hijos, como estudios superiores.

a)

[1.25 puntos] Elegido un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ni hijos, ni estudios superiores?

b)

[1.25 puntos] Elegido al azar un habitante de entre los que tienen estudios superiores, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga hijos?

Si denotamos por $X$ la v.a. «importe, en miles de euros, de una hipoteca», sabemos que dicha variable sigue una distribución normal de media desconocida $\mu$ y desviación típica $\sigma = 35$ miles de euros, es decir, $X \to N(\mu, 35)$. Además, tenemos de dicha v.a. una muestra aleatoria de tamaño $n = 150$ para la cual se obtiene una media muestral $\bar{x} = 138$ miles de euros.

Algunos valores de la función de distribución de la normal de media 0 y desviación típica 1: F(1,28) = 0,90, F(1,64) = 0,95, F(1,96) = 0,975, F(2,33) = 0,99 y F(2,58) = 0,995.

a)

[1,5 puntos] Para estimar el importe medio poblacional, se considera una muestra aleatoria de 150 hipotecas, para la que el importe medio fue de 138 miles de euros. Construye, a partir de esta muestra, un intervalo de confianza para el importe medio poblacional, con un nivel de confianza del 90 %.

b)

[1 punto] ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero importe medio a partir de la muestra muestral con un error de estimación máximo de 5000 euros y un nivel de confianza del 95 %?

Pregunta 8. Una empresa de telecomunicaciones hace una encuesta antes de instalar fibra en una región. Para ello selecciona al azar a 180 hogares de la zona y, tras mostrarles su oferta, anota si el hogar contrataría la fibra con esa empresa o no. El resultado del sondeo es que 130 de los hogares encuestados contratarían su fibra.*

a)

[1.5 puntos] Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la proporción poblacional de hogares que contratarían su fibra, con un nivel de confianza del 95 %.

b)

[1 punto] En el intervalo obtenido, ¿cuánto vale el error de estimación?

¿Qué le ocurriría al error de estimación si, basándonos en la misma muestra, aumentásemos el nivel de confianza?

* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: F(1.28) = 0.90, F(1.64) = 0.95, F(1.96) = 0.975, F(2.33) = 0.99 y F(2.58) = 0.995.