Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Aragón 2024 · Ordinaria

1.- (10 puntos) Responda a las siguientes cuestiones:

a.-

Determine el orden de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $A\,X + 3B = C$ esté bien planteada, siendo

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Resuelva la ecuación matricial despejando previamente $X$.

$\times$

1.- (10 puntos) Responda a las siguientes cuestiones:

b.- (5 puntos) Un pueblo necesita recaudar fondos para combatir una plaga de termitas y han decidido financiar parte del tratamiento mediante la venta de participaciones para el sorteo de Lotería del 22 de diciembre. Ofrecen tres tipos de participaciones: de 10 euros, de 25 euros y de 5 euros. Se sabe que han vendido la mitad de participaciones de 10 euros que de 25 euros; en total, han recaudado 7.100 € y han vendido 430 participaciones. Utilizando técnicas matriciales, determine la cantidad de participaciones vendidas de cada tipo. Con una ganancia de 2,50 € por cada participación de 10 €, de 5 euros por cada participación de 25 € y de 1 € por cada participación de 5 €, ¿a cuánto asciende la ganancia total?

Una empresa produce dos productos, A y B, con ganancias de 30 € y 40 € por unidad producida, respectivamente. La producción de A requiere 3 horas de mano de obra y 2 unidades de material, mientras que la producción de B requiere 2 horas de mano de obra y 3 unidades de material. Los recursos disponibles son 150 horas de mano de obra y 150 unidades de material. Además, debido a requisitos de distribución, se establece que la producción total debe ser mayor o igual a 20 unidades entre ambos productos.

a)

[8 puntos] Plantee y resuelva un problema que permita determinar el número de unidades de cada tipo que deben producirse para maximizar la ganancia total y a cuánto ascendería dicha ganancia.

b)

[2 puntos] Considerando la región factible del apartado a) y una nueva función objetivo dada por: $\max f(x,y)=30x+by$, donde $b$ es un valor desconocido. Razone por qué $(40,40)$ no puede ser solución óptima del nuevo problema. Análogo con $(20,20)$.

Dada la función $f(x) = x^3 - 9x^2 + 40x + 50$, $0 \le x \le 8$.

a)

Calcule el valor máximo y mínimo de $f(x)$ cuando $x \in [0,8]$ y la abscisa donde se obtienen dichos valores, especificando si se corresponde con extremos relativos y/o absolutos.

$x =$

$f(x)_{\min} =$

$x =$

$f(x)_{\max} =$

b)

¿$f(x)$ tiene algún punto de inflexión? Analice la concavidad y convexidad de $f(x)$.

Dada la función $f(x) = x^3 - 9x^2 + 40x + 50$, $0 \le x \le 8$.

c.- (3 puntos) Calcule $\displaystyle \int_1^3 f(x)\,dx$.

4.- (10 puntos) La obsolescencia tecnológica implica una disminución del valor de un producto con el tiempo. En cierto dispositivo, el valor $V(t) > 0$, viene dado por $V(t) = 200 - \dfrac{100\,t}{10 + 2\,t}$ €, siendo $t$ los años transcurridos desde la compra del dispositivo.

a.-

(3 puntos) Calcule el valor inicial del producto y su valor en un horizonte infinito de tiempo.

b.-

(4 puntos) Calcule $V'(t)$ y justifique que $V(t)$ es decreciente. Utilice esta conclusión y los resultados obtenidos en a.- para argumentar que no será posible que el valor de $V(t)$ sea igual a $125$ €.

c.-

(3 puntos) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el dispositivo tenga un valor de $175$ €?

5.- ( 10 puntos) Juan va a hacer un examen de Geografía que tiene 4 preguntas. Juan piensa que, en cada pregunta, la probabilidad que tiene de responderla correctamente es 0,7 y que cada pregunta es independiente de las demás.

a.-

( 3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan conteste correctamente todas las preguntas?

b.-

( 4 puntos) Juan aprobará el examen si contesta, al menos, 2 preguntas correctamente. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Juan de aprobar el examen?

c.-

( 3 puntos) Si Juan ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho contestando correctamente todas las preguntas?

En una ciudad se presentan dos personas a la alcaldía: Rupérez y García.

a)

[5 puntos]

Se ha realizado una encuesta sobre la intención de voto, para lo cual se ha tomado una muestra aleatoria simple de 200 votantes y 120 de ellos van a votar a Rupérez, mientras que el resto votarán a García. Calcule un intervalo de confianza a nivel 98% para la proporción de votantes de la ciudad que votarán a Rupérez.

b)

[2 puntos]

El periódico de la ciudad afirma que Rupérez obtendrá un 75% de los votos. A la vista de los resultados del apartado a), ¿es razonable tal afirmación?

En una ciudad se presentan dos personas a la alcaldía: Rupérez y García.

c)

(3 puntos) Una vez realizada la votación, Rupérez ha ganado con el 62% de los votos. Si elegimos a 3 votantes con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que al menos 1 de ellos haya votado por Rupérez.