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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2023 · Extraordinaria Reserva

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Andalucía (PAU/PEvAU) 2023, Extraordinaria Reserva (julio): 4 problemas con…

Temas del examen: Números y Álgebra · Análisis · Probabilidad · Inferencia y Muestreo

Ejercicio 1 · Números y Álgebra

Una conservera fabrica latas de pisto con tomate, cebolla y pimiento siguiendo dos recetas distintas.

La matriz $\begin{pmatrix}500&300&200\\600&100&300\end{pmatrix}$ indica los gramos necesarios de cada producto para conseguir una lata de cada receta. Se dispone de dos proveedores, siendo la matriz de precios en euros por kilo de cada producto $\begin{pmatrix}0.5&0.4&0.6\\0.4&0.5&0.7\end{pmatrix}$ . Los costes de producción de cada receta en euros por lata vienen dados por la matriz $\begin{pmatrix}0.11&0.09\end{pmatrix}$ . Los costes de transporte en euros por lata según cada proveedor vienen dados por la matriz $\begin{pmatrix}0.02&0.03\end{pmatrix}$ . La conservera quiere obtener un beneficio de $5$ céntimos por lata. Una distribuidora compra $11000$ latas de la primera receta, siendo $5000$ del primer proveedor, y otras $11000$ de la segunda receta, siendo $6000$ del primer proveedor. ¿Cuánto debe cobrar la conservera por el pedido de esta distribuidora?

Ejercicio 2 · Números y Álgebra

EJERCICIO 2

[2.5 puntos] Una compañía de transporte marítimo de mercancías dispone de dos barcos $B_1$ y $B_2$ para realizar una determinada ruta, durante un año, entre dos ciudades costeras europeas. El barco $B_1$ no puede realizar más de 14 viajes y debe realizar tantos viajes o más que el barco $B_2$ . Entre los dos barcos deben realizar al menos 10 viajes y como mucho 24. La compañía obtiene unos beneficios de $15\,000$ € por cada viaje del barco $B_1$ y $17\,000$ € por cada viaje del barco $B_2$ .

Halle el número de viajes que debe realizar cada barco para que el beneficio obtenido por la empresa sea máximo y obtenga dicho beneficio.

€

Ejercicio 3 · Análisis

EJERCICIO 3

(1.5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

$f(x) = (-7 + x^2)^3 \cdot e^{5-x} \qquad g(x) = \frac{\ln(x^4 - 2x^2)}{8 - x^3}$

(1 punto) Represente gráficamente la región acotada comprendida entre la recta $y = -2x + 6$ y la parábola $y = -x^2 + 2x + 3$ y calcule su área.

Ejercicio 4 · Análisis

La temperatura en el interior de un equipo de refrigeración durante un día que sufrió un corte de energía viene dada por la función $f$ expresada en grados centígrados y el tiempo $t$ en horas:

$f(t) = \begin{cases} -9 & 0 \le t \le 1 \\ -t^2 + 12t - 20 & 1 < t < 11 \\ -9 & 11 \le t \le 24 \end{cases}$

[0,75 puntos] Estudie la continuidad de $f$ .

[0,75 puntos] Represente gráficamente la función $f$ .

[0,5 puntos] Conteste razonadamente a qué hora se produjo el corte de energía y cuánto duró dicho corte.

[0,5 puntos] El equipo de refrigeración se utiliza para conservar sueros y vacunas. Los sueros se estropean si se alcanzan temperaturas de $20^\circ\mathrm{C}$ en algún momento. Las vacunas se estropean si están por encima de $0^\circ\mathrm{C}$ durante más de seis horas. Razone si alguno de esos productos se estropeó ese día.

Ejercicio 5 · Probabilidad

En una encuesta realizada en un instituto sobre los hábitos de los estudiantes en su tiempo libre, el $80\,\%$ de los encuestados dedica el tiempo libre a enviar mensajes con el móvil o a jugar a videojuegos, el $45\,\%$ realiza ambas cosas y el $40\,\%$ no juega a videojuegos. Si se elige un estudiante de ese instituto al azar, calcule la probabilidad de que dedique su tiempo libre a:

(1 punto) Enviar mensajes con el móvil y no jugar a videojuegos.

(0.5 puntos) Jugar a videojuegos sabiendo que no envía mensajes con el móvil.

(0.5 puntos) Hacer solamente una de las dos cosas.

(0.5 puntos) No hacer ninguna de las dos cosas.

Ejercicio 6 · Probabilidad

EJERCICIO 6

Un componente electrónico se produce en dos fábricas, $A$ y $B$ . Se exporta el $40\,\%$ de los componentes producidos en $A$ y la cuarta parte de los producidos en $B$ , mientras que el resto es para consumo nacional. Además, el $37\,\%$ de todos los componentes producidos es exportado. Si se elige un componente electrónico al azar, halle la probabilidad de que:

[1.5 puntos] Se haya producido en la fábrica $A$ .

[1 punto] Se haya producido en la fábrica $A$ sabiendo que no es exportado.

Ejercicio 7 · Inferencia y Muestreo

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

z · 0,00 · 0,01 · 0,02 · 0,03 · 0,04 · 0,05 · 0,06 · 0,07 · 0,08 · 0,09

0,0 · 0,5000 · 0,5040 · 0,5080 · 0,5120 · 0,5160 · 0,5199 · 0,5239 · 0,5279 · 0,5319 · 0,5359

0,1 · 0,5398 · 0,5438 · 0,5478 · 0,5517 · 0,5557 · 0,5596 · 0,5636 · 0,5675 · 0,5714 · 0,5753

0,2 · 0,5793 · 0,5832 · 0,5871 · 0,5910 · 0,5948 · 0,5987 · 0,6026 · 0,6064 · 0,6103 · 0,6141

0,3 · 0,6179 · 0,6217 · 0,6255 · 0,6293 · 0,6331 · 0,6368 · 0,6406 · 0,6443 · 0,6480 · 0,6517

0,4 · 0,6554 · 0,6591 · 0,6628 · 0,6664 · 0,6700 · 0,6736 · 0,6772 · 0,6808 · 0,6844 · 0,6879

0,5 · 0,6915 · 0,6950 · 0,6985 · 0,7019 · 0,7054 · 0,7088 · 0,7123 · 0,7157 · 0,7190 · 0,7224

0,6 · 0,7257 · 0,7291 · 0,7324 · 0,7357 · 0,7389 · 0,7422 · 0,7454 · 0,7486 · 0,7517 · 0,7549

0,7 · 0,7580 · 0,7611 · 0,7642 · 0,7673 · 0,7704 · 0,7734 · 0,7764 · 0,7794 · 0,7823 · 0,7852

0,8 · 0,7881 · 0,7910 · 0,7939 · 0,7967 · 0,7995 · 0,8023 · 0,8051 · 0,8078 · 0,8106 · 0,8133

0,9 · 0,8159 · 0,8186 · 0,8212 · 0,8238 · 0,8264 · 0,8289 · 0,8315 · 0,8340 · 0,8365 · 0,8389

1,0 · 0,8413 · 0,8438 · 0,8461 · 0,8485 · 0,8508 · 0,8531 · 0,8554 · 0,8577 · 0,8599 · 0,8621

1,1 · 0,8643 · 0,8665 · 0,8686 · 0,8708 · 0,8729 · 0,8749 · 0,8770 · 0,8790 · 0,8810 · 0,8830

1,2 · 0,8849 · 0,8869 · 0,8888 · 0,8907 · 0,8925 · 0,8944 · 0,8962 · 0,8980 · 0,8997 · 0,9015

1,3 · 0,9032 · 0,9049 · 0,9066 · 0,9082 · 0,9099 · 0,9115 · 0,9131 · 0,9147 · 0,9162 · 0,9177

1,4 · 0,9192 · 0,9207 · 0,9222 · 0,9236 · 0,9251 · 0,9265 · 0,9279 · 0,9292 · 0,9306 · 0,9319

1,5 · 0,9332 · 0,9345 · 0,9357 · 0,9370 · 0,9382 · 0,9394 · 0,9406 · 0,9418 · 0,9429 · 0,9441

1,6 · 0,9452 · 0,9463 · 0,9474 · 0,9484 · 0,9495 · 0,9505 · 0,9515 · 0,9525 · 0,9535 · 0,9545

1,7 · 0,9554 · 0,9564 · 0,9573 · 0,9582 · 0,9591 · 0,9599 · 0,9608 · 0,9616 · 0,9625 · 0,9633

1,8 · 0,9641 · 0,9649 · 0,9656 · 0,9664 · 0,9671 · 0,9678 · 0,9686 · 0,9693 · 0,9699 · 0,9706

1,9 · 0,9713 · 0,9719 · 0,9726 · 0,9732 · 0,9738 · 0,9744 · 0,9750 · 0,9756 · 0,9761 · 0,9767

2,0 · 0,9772 · 0,9778 · 0,9783 · 0,9788 · 0,9793 · 0,9798 · 0,9803 · 0,9808 · 0,9812 · 0,9817

2,1 · 0,9821 · 0,9826 · 0,9830 · 0,9834 · 0,9838 · 0,9842 · 0,9846 · 0,9850 · 0,9854 · 0,9857

2,2 · 0,9861 · 0,9864 · 0,9868 · 0,9871 · 0,9875 · 0,9878 · 0,9881 · 0,9884 · 0,9887 · 0,9890

2,3 · 0,9893 · 0,9896 · 0,9898 · 0,9901 · 0,9904 · 0,9906 · 0,9909 · 0,9911 · 0,9913 · 0,9916

2,4 · 0,9918 · 0,9920 · 0,9922 · 0,9925 · 0,9927 · 0,9929 · 0,9931 · 0,9932 · 0,9934 · 0,9936

2,5 · 0,9938 · 0,9940 · 0,9941 · 0,9943 · 0,9945 · 0,9946 · 0,9948 · 0,9949 · 0,9951 · 0,9952

2,6 · 0,9953 · 0,9955 · 0,9956 · 0,9957 · 0,9959 · 0,9960 · 0,9961 · 0,9962 · 0,9963 · 0,9964

2,7 · 0,99653 · 0,99664 · 0,99674 · 0,99683 · 0,99693 · 0,99702 · 0,99711 · 0,99720 · 0,99728 · 0,99736

2,8 · 0,99744 · 0,99752 · 0,99760 · 0,99767 · 0,99774 · 0,99781 · 0,99788 · 0,99795 · 0,99801 · 0,99807

2,9 · 0,99813 · 0,99819 · 0,99825 · 0,99831 · 0,99836 · 0,99841 · 0,99846 · 0,99851 · 0,99856 · 0,99861

3,0 · 0,99865 · 0,99869 · 0,99874 · 0,99878 · 0,99882 · 0,99886 · 0,99889 · 0,99893 · 0,99896 · 0,99900

3,1 · 0,99903 · 0,99906 · 0,99910 · 0,99913 · 0,99916 · 0,99918 · 0,99921 · 0,99924 · 0,99926 · 0,99929

3,2 · 0,99931 · 0,99934 · 0,99936 · 0,99938 · 0,99940 · 0,99942 · 0,99944 · 0,99946 · 0,99948 · 0,99950

3,3 · 0,99952 · 0,99953 · 0,99955 · 0,99957 · 0,99958 · 0,99960 · 0,99961 · 0,99962 · 0,99964 · 0,99965

3,4 · 0,99966 · 0,99968 · 0,99969 · 0,99970 · 0,99971 · 0,99972 · 0,99973 · 0,99974 · 0,99975 · 0,99976

3,5 · 0,99977 · 0,99978 · 0,99978 · 0,99979 · 0,99980 · 0,99981 · 0,99981 · 0,99982 · 0,99983 · 0,99983

3,6 · 0,99984 · 0,99985 · 0,99985 · 0,99986 · 0,99986 · 0,99987 · 0,99987 · 0,99988 · 0,99988 · 0,99989

3,7 · 0,99989 · 0,99990 · 0,99990 · 0,99990 · 0,99991 · 0,99991 · 0,99992 · 0,99992 · 0,99992 · 0,99992

3,8 · 0,99993 · 0,99993 · 0,99993 · 0,99994 · 0,99994 · 0,99994 · 0,99994 · 0,99995 · 0,99995 · 0,99995

3,9 · 0,99995 · 0,99995 · 0,99996 · 0,99996 · 0,99996 · 0,99996 · 0,99996 · 0,99996 · 0,99997 · 0,99997

4,0 · 0,99997 · 0,99997 · 0,99997 · 0,99997 · 0,99997 · 0,99997 · 0,99998 · 0,99998 · 0,99998 · 0,99998

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z, con distribución N(0,1), esté por debajo del valor z.

BLOQUE D

EJERCICIO 7

Se sabe que la vida útil en meses de una batería de coche sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza $8\text{ meses}^2$ . Se seleccionan al azar $100$ clientes que habían comprado una de estas baterías y se les pregunta cuando las reemplazaron, obteniéndose una media de $4$ años y $2$ meses.

[1.25 puntos] Determine, con un nivel de confianza del $94\,\%$ , un intervalo de confianza para estimar la vida media de estas baterías.

meses

[1.25 puntos] Manteniendo el mismo nivel de confianza, determine el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para que el error cometido al estimar la vida media de estas baterías sea menor que $0.1$ meses.

Ejercicio 8 · Inferencia y Muestreo