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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2021 · Extraordinaria Reserva

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Andalucía (PAU/PEvAU) 2021, Extraordinaria Reserva (julio): 4 problemas con…

Temas del examen: Números y Álgebra · Análisis · Probabilidad · Inferencia y Muestreo

Ejercicio 1 · Números y Álgebra

EJERCICIO 1

(2.5 puntos) La Agencia Espacial Europea contará con un presupuesto de 2.4 millones de euros para financiar misiones sobre Observación de la Tierra y para financiar programas de Transporte Espacial. Cada misión supone una inversión de $200\,000$ euros y cada programa, $100\,000$ euros. Teniendo en cuenta que en la decisión final deben superarse los 2 millones de euros de inversión y el número de misiones debe ser al menos 4, pero no más de la mitad del número de programas, ¿cuántas misiones y cuántos programas se deben llevar a cabo para obtener el máximo de la función $F(x, y) = 0.6x + 0.4y$ , con $x$ misiones e $y$ programas?

Ejercicio 2 · Números y Álgebra

EJERCICIO 2

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}.$

[1 punto] Calcule $A^2$ , $A^3$ , $A^4$ y deduzca la expresión de $A^n$ , con $n$ un número natural.

[0.5 puntos] Razone si existe la inversa de la matriz $B$ .

[1 punto] Razone si la ecuación matricial $B \cdot X = C$ tiene solución y resuélvala en caso de que sea posible.

Ejercicio 3 · Análisis

BLOQUE B

EJERCICIO 3

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x < 1 \\ x^2 - bx + a & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

[0.5 puntos] Halle el valor de $b$ para que $f$ sea continua en $\mathbb{R}$ .

[0.5 puntos] Para $b = \frac{1}{2}$ , halle el valor de $a$ para que $f$ sea derivable en $\mathbb{R}$ .

[0.7 puntos] Para $a < 0$ y $b = \frac{1}{2}$ , estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función $f$ .

[0.8 puntos] Para $a = 0$ y $b = \frac{1}{2}$ , represente la región del plano delimitada por la gráfica de $f$ , el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 2$ . Calcule el área de dicha región.

Ejercicio 4 · Análisis

La cotización en bolsa de una empresa en un determinado día viene expresada, en euros, por la función $c(t)$ , con $t \in [0, 24]$ , medido en horas.

La variación instantánea de esta función es la derivada de $c$ , que viene dada por $c'(t) = 0.03t^2 - 0.9t + 6$ , con $t \in (0, 24)$ .

[1,25 puntos] Estudie los intervalos en los que la función $c$ es creciente.

[0,5 puntos] Analice los puntos críticos de la función $c$ , indicando en cuáles se alcanza el máximo y el mínimo relativos.

[0,75 puntos] Halle la expresión analítica de la función $c$ , sabiendo que la cotización en bolsa de la empresa era de $50$ euros en el instante inicial.

Ejercicio 5 · Probabilidad

BLOQUE C

EJERCICIO 5

Una empresa dedicada a la fabricación de coches lanza al mercado un nuevo modelo que fabrica en tres plantas diferentes, $A$ , $B$ y $C$ . La planta $A$ produce el $45\%$ de los vehículos, la planta $B$ el $21\%$ y el resto los produce la planta $C$ . Se ha detectado un defecto en la colocación del airbag, que afecta al $1\%$ de los coches procedentes de la planta $A$ , al $3\%$ de los procedentes de la planta $B$ y al $2\%$ de los de la planta $C$ . Se selecciona un coche al azar de este nuevo modelo.

(1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y proceda de la planta $C$ ?

(1.25 puntos) Si el coche elegido no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la planta $A$ ?

Ejercicio 6 · Probabilidad

La probabilidad de que una persona sana se contagie de otra enferma por un virus es del 80 % si coinciden en una reunión.

[1 punto] Si una persona enferma se reúne con dos personas sanas, teniendo en cuenta que contagiar a distintas personas son sucesos independientes entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que se contagien las dos personas a la vez? ¿Cuál es la probabilidad de que se contagie alguna de ellas?

[1.5 puntos] Una prueba para detectar la enfermedad da el resultado correcto en el 90 % de los casos cuando se le aplica a personas contagiadas y da falsos positivos en el 5 % de los casos cuando se aplica a personas sanas. Si una persona sana se reúne con una enferma y resulta positivo en una prueba posterior, ¿qué probabilidad hay de que se haya contagiado en la reunión?

Ejercicio 7 · Inferencia y Muestreo

EJERCICIO 7

Para un estudio acerca del uso del transporte público en una ciudad, se selecciona una muestra aleatoria de 500 individuos, obteniéndose que 175 de ellos lo usan.

(1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza al 94% para estimar la proporción real de individuos que usan el transporte público en esa ciudad.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

z · 0.00 · 0.01 · 0.02 · 0.03 · 0.04 · 0.05 · 0.06 · 0.07 · 0.08 · 0.09

0.0 · 0.5000 · 0.5040 · 0.5080 · 0.5120 · 0.5160 · 0.5199 · 0.5239 · 0.5279 · 0.5319 · 0.5359

0.1 · 0.5398 · 0.5438 · 0.5478 · 0.5517 · 0.5557 · 0.5596 · 0.5636 · 0.5675 · 0.5714 · 0.5753

0.2 · 0.5793 · 0.5832 · 0.5871 · 0.5910 · 0.5948 · 0.5987 · 0.6026 · 0.6064 · 0.6103 · 0.6141

0.3 · 0.6179 · 0.6217 · 0.6255 · 0.6293 · 0.6331 · 0.6368 · 0.6406 · 0.6443 · 0.6480 · 0.6517

0.4 · 0.6554 · 0.6591 · 0.6628 · 0.6664 · 0.6700 · 0.6736 · 0.6772 · 0.6808 · 0.6844 · 0.6879

0.5 · 0.6915 · 0.6950 · 0.6985 · 0.7019 · 0.7054 · 0.7088 · 0.7123 · 0.7157 · 0.7190 · 0.7224

0.6 · 0.7257 · 0.7291 · 0.7324 · 0.7357 · 0.7389 · 0.7422 · 0.7454 · 0.7486 · 0.7517 · 0.7549

0.7 · 0.7580 · 0.7611 · 0.7642 · 0.7673 · 0.7704 · 0.7734 · 0.7764 · 0.7794 · 0.7823 · 0.7852

0.8 · 0.7881 · 0.7910 · 0.7939 · 0.7967 · 0.7995 · 0.8023 · 0.8051 · 0.8078 · 0.8106 · 0.8133

0.9 · 0.8159 · 0.8186 · 0.8212 · 0.8238 · 0.8264 · 0.8289 · 0.8315 · 0.8340 · 0.8365 · 0.8389

1.0 · 0.8413 · 0.8438 · 0.8461 · 0.8485 · 0.8508 · 0.8531 · 0.8554 · 0.8577 · 0.8599 · 0.8621

1.1 · 0.8643 · 0.8665 · 0.8686 · 0.8708 · 0.8729 · 0.8749 · 0.8770 · 0.8790 · 0.8810 · 0.8830

1.2 · 0.8849 · 0.8869 · 0.8888 · 0.8907 · 0.8925 · 0.8944 · 0.8962 · 0.8980 · 0.8997 · 0.9015

1.3 · 0.9032 · 0.9049 · 0.9066 · 0.9082 · 0.9099 · 0.9115 · 0.9131 · 0.9147 · 0.9162 · 0.9177

1.4 · 0.9192 · 0.9207 · 0.9222 · 0.9236 · 0.9251 · 0.9265 · 0.9279 · 0.9292 · 0.9306 · 0.9319

1.5 · 0.9332 · 0.9345 · 0.9357 · 0.9370 · 0.9382 · 0.9394 · 0.9406 · 0.9418 · 0.9429 · 0.9441

1.6 · 0.9452 · 0.9463 · 0.9474 · 0.9484 · 0.9495 · 0.9505 · 0.9515 · 0.9525 · 0.9535 · 0.9545

1.7 · 0.9554 · 0.9564 · 0.9573 · 0.9582 · 0.9591 · 0.9599 · 0.9608 · 0.9616 · 0.9625 · 0.9633

1.8 · 0.9641 · 0.9649 · 0.9656 · 0.9664 · 0.9671 · 0.9678 · 0.9686 · 0.9693 · 0.9699 · 0.9706

1.9 · 0.9713 · 0.9719 · 0.9726 · 0.9732 · 0.9738 · 0.9744 · 0.9750 · 0.9756 · 0.9761 · 0.9767

2.0 · 0.9772 · 0.9778 · 0.9783 · 0.9788 · 0.9793 · 0.9798 · 0.9803 · 0.9808 · 0.9812 · 0.9817

2.1 · 0.9821 · 0.9826 · 0.9830 · 0.9834 · 0.9838 · 0.9842 · 0.9846 · 0.9850 · 0.9854 · 0.9857

2.2 · 0.9861 · 0.9864 · 0.9868 · 0.9871 · 0.9875 · 0.9878 · 0.9881 · 0.9884 · 0.9887 · 0.9890

2.3 · 0.9893 · 0.9896 · 0.9898 · 0.9901 · 0.9904 · 0.9906 · 0.9909 · 0.9911 · 0.9913 · 0.9916

2.4 · 0.9918 · 0.9920 · 0.9922 · 0.9925 · 0.9927 · 0.9929 · 0.9931 · 0.9932 · 0.9934 · 0.9936

2.5 · 0.9938 · 0.9940 · 0.9941 · 0.9943 · 0.9945 · 0.9946 · 0.9948 · 0.9949 · 0.9951 · 0.9952

2.6 · 0.9953 · 0.9955 · 0.9956 · 0.9957 · 0.9959 · 0.9960 · 0.9961 · 0.9962 · 0.9963 · 0.9964

2.7 · 0.99653 · 0.99664 · 0.99674 · 0.99683 · 0.99693 · 0.99702 · 0.99711 · 0.99720 · 0.99728 · 0.99736

2.8 · 0.99744 · 0.99752 · 0.99760 · 0.99767 · 0.99774 · 0.99781 · 0.99788 · 0.99795 · 0.99801 · 0.99807

2.9 · 0.99813 · 0.99819 · 0.99825 · 0.99831 · 0.99836 · 0.99841 · 0.99846 · 0.99851 · 0.99856 · 0.99861

3.0 · 0.99865 · 0.99869 · 0.99874 · 0.99878 · 0.99882 · 0.99886 · 0.99889 · 0.99893 · 0.99896 · 0.99900

3.1 · 0.99903 · 0.99906 · 0.99910 · 0.99913 · 0.99916 · 0.99918 · 0.99921 · 0.99924 · 0.99926 · 0.99929

3.2 · 0.99931 · 0.99934 · 0.99936 · 0.99938 · 0.99940 · 0.99942 · 0.99944 · 0.99946 · 0.99948 · 0.99950

3.3 · 0.99952 · 0.99953 · 0.99955 · 0.99957 · 0.99958 · 0.99960 · 0.99961 · 0.99962 · 0.99964 · 0.99965

3.4 · 0.99966 · 0.99968 · 0.99969 · 0.99970 · 0.99971 · 0.99972 · 0.99973 · 0.99974 · 0.99975 · 0.99976

3.5 · 0.99977 · 0.99978 · 0.99978 · 0.99979 · 0.99980 · 0.99981 · 0.99981 · 0.99982 · 0.99983 · 0.99983

3.6 · 0.99984 · 0.99985 · 0.99985 · 0.99986 · 0.99986 · 0.99987 · 0.99987 · 0.99988 · 0.99988 · 0.99989

3.7 · 0.99989 · 0.99990 · 0.99990 · 0.99990 · 0.99991 · 0.99991 · 0.99992 · 0.99992 · 0.99992 · 0.99992

3.8 · 0.99993 · 0.99993 · 0.99993 · 0.99994 · 0.99994 · 0.99994 · 0.99994 · 0.99995 · 0.99995 · 0.99995

3.9 · 0.99995 · 0.99995 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99997 · 0.99997

4.0 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99998 · 0.99998 · 0.99998 · 0.99998

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z, con distribución N(0,1), esté por debajo del valor z.

(1 punto) Manteniendo la proporción muestral, ¿cuántos individuos se deberían seleccionar como mínimo, para que, con un nivel de confianza del 97%, la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 2%?

Ejercicio 8 · Inferencia y Muestreo

EJERCICIO 8

La estatura de las mujeres de una población sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica $7\text{ cm}$ .

(1.5 puntos) Se toma una muestra aleatoria de 300 mujeres de esta población, que da una estatura media de $168\text{ cm}$ . Construya un intervalo de confianza al 97% para estimar la estatura media de las mujeres de esta población.