Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2023 · Extraordinaria Titular

BLOQUE A - EJERCICIO 1

Se considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

[1.5 puntos] Pruebe que se verifica que $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 4A + 5I_3)$.

b)

[1 punto] Dada la ecuación matricial $X^t A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, determine la dimensión de $X$ y resuelva la ecuación.

BLOQUE A - EJERCICIO 2

Un artesano decide montar dos tipos de anillos utilizando dos tipos de piedras semipreciosas, una de mayor calidad que otra. Para montar uno de los anillos tarda 20 minutos y utiliza 1 de las piedras de mayor calidad y 2 de las de menor calidad. Para el otro tarda 50 minutos y utiliza 3 piedras de mayor calidad y 1 de menor calidad.

Semanalmente, el artesano dispone de 200 piedras de mayor calidad y 150 de menor calidad. Además, quiere trabajar al menos 1900 minutos a la semana.

Sabiendo que el primer tipo de anillo se vende a 21 €, el segundo a 50 € y que deben fabricarse al menos 20 anillos del primer tipo a la semana, determine cuántos anillos de cada tipo deben montarse para maximizar el valor de la venta. ¿A cuánto asciende dicho valor?

1.

2.

3.

€

BLOQUE B - EJERCICIO 3

El área quemada de la región plana de la cubierta de plástico de un invernadero coincide con el área de la región acotada delimitada por las gráficas de las funciones $f(x) = (x - 1)^2$ y $g(x) = 5 - 2x$ donde $x$ está expresado en metros.

a)

[1 punto] Represente gráficamente la zona deteriorada.

b)

[1.5 puntos] Para reparar la región quemada, se ha de utilizar plástico cuyo coste es de 15 euros por metro cuadrado. Si en el trabajo de reparación se desperdicia la tercera parte del plástico adquirido, ¿cuánto costará el plástico comprado?

m²

€

BLOQUE B - EJERCICIO 4

Sea la función $f(t) = \frac{12t - 24}{t + 3}$; $t \ge 0$.

a)

[1.5 puntos] Represente gráficamente la función $f$, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de $f$.

b)

Si la función $f$ representa los beneficios de una empresa, en millones de euros, donde $t$ indica los años de vida de la empresa:

b-1)

[0.5 puntos] ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta.

años

b-2)

[0.5 puntos] A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?

millones de €

BLOQUE C

EJERCICIO 5

Una caja contiene 3 fichas verdes, 2 fichas azules y 4 fichas rojas. Un juego consiste en realizar dos extracciones, sin reemplazamiento, de tal manera que el jugador que saque dos fichas azules gana el primer premio, el jugador que saque dos fichas verdes gana el segundo premio y el jugador que, de las dos fichas, una sea azul y otra de un color diferente gana el tercer premio.

a)

(0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que un jugador consiga el primer o el segundo premio.

b)

(0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que un jugador gane el tercer premio.

c)

(1 punto) Sabiendo que un jugador ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya ganado el tercer premio?

EJERCICIO 6

Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.3$ y $P(A/B) = 0.6$. Se pide:

a)

(0.5 puntos) $P(A \cup B)$

b)

(0.75 puntos) $P(A - B) + P(B - A)$

c)

(0.75 puntos) $P(B/A^c)$

d)

(0.5 puntos) Razone si los sucesos $A$ y $B$ son independientes. ¿Son incompatibles?

BLOQUE D

EJERCICIO 7

a)

(1 punto) Un gimnasio establece sus tarifas por grupos de edad: juvenil, adulto y senior. Tiene matriculados 25 juveniles, 75 adultos y 50 seniors. Se quiere seleccionar una muestra de 30 personas del gimnasio utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. ¿Cuál será la composición que debe tener dicha muestra?

b)

(1.5 puntos) Dada la población {9, 11, 13, 18, 20}, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.

EJERCICIO 8

En el otoño de 2021, el municipio de El Paso en la Isla de La Palma sufrió la erupción del volcán Cumbre Vieja. Al finalizar la erupción, se escogió una muestra de $500$ casas resultando que $325$ de ellas estaban afectadas por la erupción.

a)

[1.25 puntos] Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del $97\,\%$, para estimar la proporción de casas afectadas por la erupción del volcán. Según el resultado obtenido, ¿se puede admitir que el porcentaje de casas afectadas por el volcán es del $64\,\%$?

$($

$,$

$)$

Sí

No

b)

[1.25 puntos] Para un nivel de confianza del $92\,\%$ y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo de estimación sea del $2\,\%$?

$n =$