Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2022 · Extraordinaria Reserva

BLOQUE A

EJERCICIO 1

Considere la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -a-1 \\ -1 & a & a+1 \\ 1 & -3 & -a \end{pmatrix}$$

donde $a$ es un número real. Determine de manera justificada:

a)

[0.75 puntos] Los valores de $a$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.

b)

[0.75 puntos] Las matrices $A^2$, $A^3$ y $A^{2022}$ para $a = 4$.

c)

[1 punto] La matriz $X$ que verifica que $X \cdot A = I_3$ para $a = 3$.

BLOQUE A

EJERCICIO 2 [2.5 puntos]

Una sastrería dispone de $70\,\text{m}^2$ de tela de lino y de $150\,\text{m}^2$ de tela de algodón. En la confección de un traje se emplea $1\,\text{m}^2$ de tela de lino y $3\,\text{m}^2$ de tela de algodón, y en un vestido se necesitan $2\,\text{m}^2$ de tela de cada tipo. Se obtienen $60$ euros de beneficio por cada traje y $70$ euros por cada vestido. Determine el número de trajes y vestidos que se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio, así como dicho beneficio máximo.

trajes

vestidos

euros

Se considera la función

$$f(x) = \begin{cases} a(x+1)^2 & -3 \le x \le 1 \\ \dfrac{bx^2}{2} + 2 & 1 < x \le 2 \end{cases}$$

con $a$ y $b$ números reales.

a)

Determine los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y derivable.

[1,25 puntos]

b)

Para $a = 1$ y $b = 2$, esboce la gráfica de la función $f$ y calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje $OX$ y las rectas $x = -2$ y $x = 1$.

[1,25 puntos]

BLOQUE B

EJERCICIO 4

Se considera la función $$f(x) = \dfrac{x-3}{x+2}$$

a)

Determine el dominio de la función y estudie su monotonía y curvatura. [1 punto]

b)

Calcule las ecuaciones de las asíntotas de $f$ si existen. Calcule los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas. [1 punto]

c)

Represente la gráfica de la función $f$. [0.5 puntos]

BLOQUE C

EJERCICIO 5

El 80% de los restaurantes de una localidad admite el pago con tarjeta de crédito, el 50% admite pagar mediante el móvil y el 10% no admite el pago con ninguno de estos métodos. Escogido al azar un restaurante de dicha localidad.

a)

Calcule la probabilidad de que el restaurante admita

i)

(1 punto) alguno de estos dos medios de pago.

ii)

(1 punto) Pagar con móvil sabiendo que admite pagar con tarjeta de crédito.

b)

(0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos "Pagar con tarjeta" y "Pagar con móvil"?

En una localidad se han vendido 1335 boletos de lotería en tres establecimientos $A$, $B$ y $C$. En el establecimiento $A$ se han vendido 1054 boletos, 99 en $B$ y el resto en $C$. De los boletos premiados, 5 han sido vendidos en $B$ y 13 en $C$. Sabemos que 95 de cada 100 boletos vendidos no han obtenido premio. Elegido un boleto al azar, se pide:

a)

[1,75 puntos] ¿Cuál es el establecimiento que tiene una mayor probabilidad de haber vendido un boleto no premiado?

b)

[0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un boleto no premiado haya sido vendido en el establecimiento $A$?

BLOQUE D

EJERCICIO 7

a)

(1.25 puntos) Se divide una población en cuatro estratos de tamaño $60000$, $20000$, $24000$ y $16000$ personas. En dicha población se realiza un muestreo estratificado por afijación proporcional, seleccionándose $144$ personas del tercer estrato. Determine el tamaño total de la muestra y su composición.

b)

(1.25 puntos) Dada la población $\{1, 4, 7\}$, establezca todas las muestras posibles de tamaño $2$ que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determinar la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras.

BLOQUE D

EJERCICIO 8

Se desea estimar la proporción de estudiantes de una universidad que proceden de otras provincias, para ello se selecciona una muestra de tamaño 2100 de los que 630 lo cumplen.

a)

(1.25 puntos) Calcule un intervalo de confianza con un nivel del 97.5% para estimar la proporción poblacional de estudiantes de esa universidad procedentes de otras provincias.

b)

(1.25 puntos) En una nueva muestra que mantiene la misma proporción muestral, y con el mismo nivel de confianza, queremos que el error máximo cometido sea de 0.01. Halle su tamaño mínimo.