Ejercicio 2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía Extraordinaria Reserva 2021

a) Calcule A^2, A^3, A^4 y deduzca la expresión de A^n, con n un número natural.

Solución: $$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^3 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad A^4 = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{pmatrix}, \quad A^n = \begin{pmatrix} 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1} \\ 0 & 1 & 0 \\ 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1} \end{pmatrix}$$

b) Razone si existe la inversa de la matriz B.

Solución: No existe la inversa de $B$ porque $\det(B) = 0$.

c) Razone si la ecuación matricial B · X = C tiene solución y resuélvala en caso de que sea posible.

Solución: Sí tiene solución única porque $B$ es invertible (o sistema compatible determinado). La solución es $$X = B^{-1}C = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$