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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2013 · Ordinaria Reserva A

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Andalucía (PAU/PEvAU) 2013, Ordinaria Reserva A (junio): 4 problemas con…

Temas del examen: Números y Álgebra · Análisis · Probabilidad · Inferencia y Muestreo

Opción A - Ejercicio 1 · Números y Álgebra

EJERCICIO 1

(1 punto) Plantee, sin resolver, el siguiente problema:

«Un barco puede transportar vehículos de dos tipos: coches y motos. Las condiciones de la nave obligan a que el número de motos no pueda ser inferior a la cuarta parte del de coches ni superior a su doble; además, la suma del número de motos más el doble del número de coches no puede ser mayor que 100. ¿Cuántos vehículos, como máximo, puede transportar este barco?»

(1.5 puntos) Dado el recinto limitado por las inecuaciones

$y \ge 30, \quad 3x - y \ge 150, \quad 6x + 7y \le 840,$ halle en qué puntos de ese recinto la función $F(x, y) = 6x - 2y$ alcanza su valor mínimo.

Opción A - Ejercicio 2 · Análisis

EJERCICIO 2

(2.5 puntos) Estudie la derivabilidad de la función $f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } & x \le 0 \\ 1 & \text{si } & 0 < x \le 3 \\ -x^2 + 6x + 2 & \text{si } & x > 3 \end{cases}$

Opción A - Ejercicio 3 · Probabilidad

Una granja avícola dedicada a la producción de huevos posee un sistema automático de clasificación en tres calibres según su peso: grande, mediano y pequeño. Se conoce que el 40% de la producción es clasificada como huevos grandes, el 35% como medianos y el 25% restante como pequeños. Además, se sabe que este sistema de clasificación produce defectos por rotura en el cascarón que dependen del peso. Así, la probabilidad de que un huevo grande sea defectuoso por esta razón es del 5%, la de uno mediano del 3% y de un 2% la de uno pequeño. Elegido aleatoriamente un huevo,

(1.25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

(1.25 puntos) Si el huevo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea grande?

Opción A - Ejercicio 4 · Inferencia y Muestreo

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0;1)

z · 0.00 · 0.01 · 0.02 · 0.03 · 0.04 · 0.05 · 0.06 · 0.07 · 0.08 · 0.09

0.0 · 0.5000 · 0.5040 · 0.5080 · 0.5120 · 0.5160 · 0.5199 · 0.5239 · 0.5279 · 0.5319 · 0.5359

0.1 · 0.5398 · 0.5438 · 0.5478 · 0.5517 · 0.5557 · 0.5596 · 0.5636 · 0.5675 · 0.5714 · 0.5753

0.2 · 0.5793 · 0.5832 · 0.5871 · 0.5910 · 0.5948 · 0.5987 · 0.6026 · 0.6064 · 0.6103 · 0.6141

0.3 · 0.6179 · 0.6217 · 0.6255 · 0.6293 · 0.6331 · 0.6368 · 0.6406 · 0.6443 · 0.6480 · 0.6517

0.4 · 0.6554 · 0.6591 · 0.6628 · 0.6664 · 0.6700 · 0.6736 · 0.6772 · 0.6808 · 0.6844 · 0.6879

0.5 · 0.6915 · 0.6950 · 0.6985 · 0.7019 · 0.7054 · 0.7088 · 0.7123 · 0.7157 · 0.7190 · 0.7224

0.6 · 0.7257 · 0.7291 · 0.7324 · 0.7357 · 0.7389 · 0.7422 · 0.7454 · 0.7486 · 0.7517 · 0.7549

0.7 · 0.7580 · 0.7611 · 0.7642 · 0.7673 · 0.7704 · 0.7734 · 0.7764 · 0.7794 · 0.7823 · 0.7852

0.8 · 0.7881 · 0.7910 · 0.7939 · 0.7967 · 0.7995 · 0.8023 · 0.8051 · 0.8078 · 0.8106 · 0.8133

0.9 · 0.8159 · 0.8186 · 0.8212 · 0.8238 · 0.8264 · 0.8289 · 0.8315 · 0.8340 · 0.8365 · 0.8389

1.0 · 0.8413 · 0.8438 · 0.8461 · 0.8485 · 0.8508 · 0.8531 · 0.8554 · 0.8577 · 0.8599 · 0.8621

1.1 · 0.8643 · 0.8665 · 0.8686 · 0.8708 · 0.8729 · 0.8749 · 0.8770 · 0.8790 · 0.8810 · 0.8830

1.2 · 0.8849 · 0.8869 · 0.8888 · 0.8907 · 0.8925 · 0.8944 · 0.8962 · 0.8980 · 0.8997 · 0.9015

1.3 · 0.9032 · 0.9049 · 0.9066 · 0.9082 · 0.9099 · 0.9115 · 0.9131 · 0.9147 · 0.9162 · 0.9177

1.4 · 0.9192 · 0.9207 · 0.9222 · 0.9236 · 0.9251 · 0.9265 · 0.9279 · 0.9292 · 0.9306 · 0.9319

1.5 · 0.9332 · 0.9345 · 0.9357 · 0.9370 · 0.9382 · 0.9394 · 0.9406 · 0.9418 · 0.9429 · 0.9441

1.6 · 0.9452 · 0.9463 · 0.9474 · 0.9484 · 0.9495 · 0.9505 · 0.9515 · 0.9525 · 0.9535 · 0.9545

1.7 · 0.9554 · 0.9564 · 0.9573 · 0.9582 · 0.9591 · 0.9599 · 0.9608 · 0.9616 · 0.9625 · 0.9633

1.8 · 0.9641 · 0.9649 · 0.9656 · 0.9664 · 0.9671 · 0.9678 · 0.9686 · 0.9693 · 0.9699 · 0.9706

1.9 · 0.9713 · 0.9719 · 0.9726 · 0.9732 · 0.9738 · 0.9744 · 0.9750 · 0.9756 · 0.9761 · 0.9767

2.0 · 0.9772 · 0.9778 · 0.9783 · 0.9788 · 0.9793 · 0.9798 · 0.9803 · 0.9808 · 0.9812 · 0.9817

2.1 · 0.9821 · 0.9826 · 0.9830 · 0.9834 · 0.9838 · 0.9842 · 0.9846 · 0.9850 · 0.9854 · 0.9857

2.2 · 0.9861 · 0.9864 · 0.9868 · 0.9871 · 0.9875 · 0.9878 · 0.9881 · 0.9884 · 0.9887 · 0.9890

2.3 · 0.9893 · 0.9896 · 0.9898 · 0.9901 · 0.9904 · 0.9906 · 0.9909 · 0.9911 · 0.9913 · 0.9916

2.4 · 0.9918 · 0.9920 · 0.9922 · 0.9925 · 0.9927 · 0.9929 · 0.9931 · 0.9932 · 0.9934 · 0.9936

2.5 · 0.9938 · 0.9940 · 0.9941 · 0.9943 · 0.9945 · 0.9946 · 0.9948 · 0.9949 · 0.9951 · 0.9952

2.6 · 0.9953 · 0.9955 · 0.9956 · 0.9957 · 0.9959 · 0.9960 · 0.9961 · 0.9962 · 0.9963 · 0.9964

2.7 · 0.9965 · 0.9966 · 0.9967 · 0.9968 · 0.9969 · 0.9970 · 0.9971 · 0.9972 · 0.9973 · 0.9974

2.8 · 0.9974 · 0.9975 · 0.9976 · 0.9977 · 0.9977 · 0.9978 · 0.9979 · 0.9979 · 0.9980 · 0.9981

2.9 · 0.9981 · 0.9982 · 0.9982 · 0.9983 · 0.9984 · 0.9984 · 0.9985 · 0.9985 · 0.9986 · 0.9986

3.0 · 0.99865 · 0.99869 · 0.99874 · 0.99878 · 0.99882 · 0.99886 · 0.99889 · 0.99893 · 0.99897 · 0.99900

3.1 · 0.99903 · 0.99906 · 0.99909 · 0.99913 · 0.99916 · 0.99918 · 0.99921 · 0.99924 · 0.99926 · 0.99929

3.2 · 0.99931 · 0.99934 · 0.99936 · 0.99938 · 0.99940 · 0.99942 · 0.99944 · 0.99946 · 0.99948 · 0.99950

3.3 · 0.99952 · 0.99953 · 0.99955 · 0.99957 · 0.99958 · 0.99959 · 0.99961 · 0.99962 · 0.99964 · 0.99965

3.4 · 0.99966 · 0.99968 · 0.99969 · 0.99970 · 0.99971 · 0.99972 · 0.99973 · 0.99974 · 0.99975 · 0.99976

3.5 · 0.99977 · 0.99978 · 0.99978 · 0.99979 · 0.99980 · 0.99981 · 0.99981 · 0.99982 · 0.99983 · 0.99983

3.6 · 0.99984 · 0.99985 · 0.99985 · 0.99986 · 0.99986 · 0.99987 · 0.99987 · 0.99988 · 0.99988 · 0.99989

3.7 · 0.99989 · 0.99990 · 0.99990 · 0.99990 · 0.99991 · 0.99991 · 0.99991 · 0.99992 · 0.99992 · 0.99992

3.8 · 0.99993 · 0.99993 · 0.99993 · 0.99994 · 0.99994 · 0.99994 · 0.99994 · 0.99995 · 0.99995 · 0.99995

3.9 · 0.99995 · 0.99995 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99997 · 0.99997

4.0 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99998 · 0.99998 · 0.99998 · 0.99998

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z, con distribución N(0;1), esté por debajo del valor z.

(2.5 puntos) Un director sanitario sostiene que el Índice de Masa Corporal (IMC) medio de los adolescentes de su distrito no supera el nivel 25 (sobrepeso). Para contrastar su afirmación toma una muestra aleatoria de 225 adolescentes que da como resultado un IMC medio de 26. Sabiendo que el IMC sigue una distribución Normal con desviación típica 5 discuta, mediante un contraste de hipótesis con $H_0: \mu \le 25$ , si la afirmación del director sanitario es correcta, con un nivel de significación del 5%.

Opción B - Ejercicio 1 · Números y Álgebra

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ .

Calcule $A^2$ y $A^{2013}$ .

Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X + I_2 = 5B^t - A^2$ .

Opción B - Ejercicio 2 · Análisis

OPCIÓN B - EJERCICIO 2

Sea la función

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2-x} & \text{si } x \le 1 \\ x^2 - 6x + 6 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

(1.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función.

(1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$ .

Opción B - Ejercicio 3 · Probabilidad

OPCIÓN B - EJERCICIO 3

A la Junta General de Accionistas de una empresa asisten 105 accionistas de los cuales 45 tienen menos de 40 años y 18 más de 60 años. Sometida a votación una propuesta, es rechazada por la tercera parte de los menores de 40 años, por la tercera parte de los que están entre 40 y 60 años y por 4 personas mayores de 60 años; los demás la aceptan.

(0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que, elegida una persona al azar, tenga menos de 40 años y haya aceptado la propuesta.

(0.75 puntos) La prensa afirmó que la propuesta había sido aceptada por el 80% de los asistentes, ¿es correcta la afirmación?

Sí

(1 punto) Si una persona escogida al azar ha rechazado la propuesta, ¿qué probabilidad hay de que tenga más de 60 años?

Opción B - Ejercicio 4 · Inferencia y Muestreo