Opción A - Ejercicio 2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía Ordinaria Reserva A 2013

Estudio detallado de la continuidad y derivabilidad en los trozos y en los puntos de unión x = 0 y x = 3

Solución: La función es continua y derivable en $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ y $(3, +\infty)$ por tratarse de funciones elementales (exponencial, constante y polinómica). En $x = 0$: - Continuidad: $\lim_{x \to 0^-} e^x = 1$, $\lim_{x \to 0^+} 1 = 1$, $f(0) = 1$. Es continua. - Derivabilidad: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} e^x = 1$, $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} 0 = 0$. Al ser $f'(0^-) \ne f'(0^+)$, no es derivable en $x = 0$. En $x = 3$: - Continuidad: $\lim_{x \to 3^-} 1 = 1$, $\lim_{x \to 3^+} (-x^2 + 6x + 2) = -9 + 18 + 2 = 11$. Al no coincidir los límites laterales, no es continua en $x = 3$ y, por tanto, no es derivable en $x = 3$.

Conclusión: ¿Es derivable en R? Indica el dominio de derivabilidad de f(x)

Solución: $\mathbb{R} \setminus \{0, 3\}$ / Es derivable en todos los números reales excepto en $x = 0$ y $x = 3$