Problema 2 · Matemáticas Majors de 25 anys (Catalunya) Tribunal especial Serie 3 2024

Tema: Rectes i plans a l'espai · Del examen Tribunal especial (2024)

Enunciado

2. Considereu la recta r:x−1−1=y+32=z+A1r: \dfrac{x-1}{-1} = \dfrac{y+3}{2} = \dfrac{z+A}{1} i el pla π:2x−4y−2z+30=A\pi: 2x - 4y - 2z + 30 = A.

a)

Determineu el valor de AA que fa que la intersecció entre la recta rr i el pla π\pi sigui el punt P(−3,5,0)P(-3, 5, 0). [1 punt]

b)

Justifiqueu que la recta rr i el pla π\pi són perpendiculars. [0,5 punts]

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Determineu el valor de A que fa que la intersecció entre la recta r i el pla π sigui el punt P(-3, 5, 0).

Solución: 4

b) Justifiqueu que la recta r i el pla π són perpendiculars.

Solución: El vector director de la recta és d⃗=(−1,2,1)\vec{d} = (-1, 2, 1) i el vector normal del pla és n⃗=(2,−4,−2)\vec{n} = (2, -4, -2). Com que n⃗=−2d⃗\vec{n} = -2\vec{d}, són paral·lels i, per tant, la recta i el pla són perpendiculars.

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