Examen de Fundamentos de Matemáticas UOC 2021 · Juny

Pregunta 1 (1 punto). Producto matricial traspuesta

Considerando las siguientes matrices reales:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 8 & 10 & 1 \\ 6 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$

Efectúa el producto matricial $A^t \cdot B$.

Pregunta 2 (1 punto). Sistema de ecuaciones lineales

Halla la solución del siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$\left\{\begin{array}{rcl} x - y + z & = & -3 \\ 3x + 6z & = & -2 \\ 4x + 8y - 5z & = & 2 \end{array}\right.$$

Pregunta 3 (1 punto). Cambio de base en R^2

Un vector $v \in \mathbb{R}^2$ tiene como coordenadas respecto a la base canónica $(-2, 18)$. Encuentra cuáles son las coordenadas de $v$ respecto a la base $B = \{(-2, 3), (4, 0)\}$ de $\mathbb{R}^2$.

Pregunta 4 (1 punto). Vector y valor propio

Sea la matriz cuadrada $$A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$.

Calcula el valor que debe tomar el parámetro $a$ para que el vector $$v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

sea un vector propio asociado al valor propio $\lambda = 3$.

Pregunta 5 (1 punto). Dominio de una función irracional

Determina el dominio de definición de la función real:

$$f(x) = \sqrt{2 - x}$$

Pregunta 6 (1 punto). Rectas perpendiculares y parámetro

Halla el valor del parámetro real $a$ para el cual las rectas

$$r_1: y = ax + 1$$

$$r_2: x + \frac{1}{a}y = 1$$

resultan perpendiculares entre sí.

Pregunta 7 (1 punto). Derivada de producto y parámetro

Encuentra para qué valor de la constante $k$ la derivada de la función $f(x) = (kx - 4)e^x$ evaluada en el punto $x = 0$ vale 3.

Pregunta 8 (1 punto). Coste marginal y coste total

La función de coste marginal asociada a la producción de una empresa viene dada por $CMg(q) = 6q^2 - 12q + 100$, donde $q$ indica la cantidad de unidades fabricadas. Determina la función de costes totales $C(q)$, teniendo en cuenta que los costes fijos de la compañía ascienden a $CF = 50$ (es decir, para $q = 0$ el coste total es $C(0) = 50$).

Pregunta 9 (1 punto). Extremos relativos mediante derivadas

Dada la función $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$, cuyas dos primeras derivadas son:

$$f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}, \qquad f''(x) = \frac{2x^3 - 6x}{(x^2 + 1)^3}$$

Determina la abscisa correspondiente a su mínimo local.

$x =$

Pregunta 10 (1 punto). Concavidad y convexidad

Considera la función polinómica $f(x) = 2x^4 - x^3 + 10x^2 + 5x - 20$. Determina si $f(x)$ es cóncava o convexa en el punto $x = 1$.

(Nota de referencia: se considera convexa si presenta curvatura hacia arriba $\cup$, y cóncava si presenta curvatura hacia abajo $\cap$).

Convexa

Cóncava