Examen de Fundamentos de Matemáticas UOC 2021 · Juny

Pregunta 1 (1 punto). Matriz inversa por adjuntos

Se considera la matriz de orden 3:

$$M = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 10 \\ 5 & 10 & 2 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}$$

Sabiendo de antemano que su determinante vale $|M| = 400$, halle su matriz inversa $M^{-1}$.

Pregunta 2 (1 punto). Sistema de ecuaciones lineales

Encuentre la solución del sistema lineal que se detalla a continuación:

$$\begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 8x - 2y = 7 \\ 4x + 2y - z = -2 \end{cases}$$

Pregunta 3 (1 punto). Expresión de aplicación lineal

Dada la transformación lineal $f$ cuya matriz asociada en las bases canónicas es:

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Escriba la fórmula explícita de la imagen $f(x, y)$.

$($

$,$

$,$

$)$

Pregunta 4 (1 punto). Vector propio de una matriz

Sabiendo que $\lambda = 3$ es un valor propio de la matriz cuadrada

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

calcule un vector propio asociado a dicho autovalor.

$v = ($

$,$

$)$

Pregunta 5 (1 punto). Dominio de función racional

Determine el dominio de definición de la función real de variable real:

$$f(x) = \frac{1}{x^2 - x}$$

$x_1 =$

y

$x_2 =$

Pregunta 6 (1 punto). Ecuación exponencial con potencias

Resuelva la siguiente ecuación exponencial:

$$4^{5x} \cdot 16^x = \frac{1}{4}$$

$x =$

Pregunta 7 (1 punto). Cálculo de límite indeterminado

Calcule el valor del límite:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x^2 - 4}$$

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x^2 - 4} =$

Pregunta 8 (1 punto). Ecuación de la recta tangente

Para la función $f(x) = (x + 1)e^x$, calcule la ecuación de la recta tangente a su gráfica en la abscisa $x = 0$.

Pregunta 9 (1 punto). Extremos absolutos en intervalo cerrado

Halle los extremos absolutos (tanto el máximo como el mínimo absoluto) de la función $f(x) = 3x^2 - 6x + 2$ en el intervalo cerrado $[0, 3]$.

1.

2.

Pregunta 10 (1 punto). Monotonía mediante la primera derivada

Considere la función $f(x) = \ln(x^2 + 2x + 3)$, donde $\ln$ representa el logaritmo neperiano. Indique justificadamente si la función es creciente o decreciente en el punto $x = 0$.

a)

b)

A

Creciente

B

Decreciente