Examen de Fundamentos de Matemáticas UOC 2021 · Juny

Pregunta 1 (1 punto). Rango de una matriz según un parámetro

Averigua para qué valores reales de $m$ la siguiente matriz tiene rango igual a 2:

$$M = \begin{pmatrix} m & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & m & 1 \end{pmatrix}$$

Pregunta 2 (1 punto). Resolución de sistema lineal por Gauss

Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} x - y + 4z = 3 \\ 3x + 3y = -1 \\ 5x - 2y - z = 5 \end{cases}$$

3. Pregunta 3 (1 punto). Comprobación de base en el espacio tridimensional

Determina si la terna de vectores $(1, 3, 0)$, $(0, 3, 1)$ y $(3, 3, -2)$ constituye una base de $\mathbb{R}^3$.

Pregunta 4 (1 punto). Autovalores de una matriz cuadrada

Calcula los valores propios de la matriz:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

Pregunta 5 (1 punto). Resolución de una ecuación exponencial

Resuelve la siguiente ecuación exponencial:

$$9^x \cdot 3^{x+2} = 27$$

Pregunta 6 (1 punto). Condición de paralelismo entre rectas

Encuentra el valor del parámetro real $a$ para el cual las rectas $r_1$ y $r_2$ resultan paralelas:

$$r_1: y = ax + 1, \quad r_2: x - y = a$$

Pregunta 7 (1 punto). Continuidad de una función definida a trozos

Considera la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{ax^2 - 3}{x}, & x \le 1 \\[8pt] \ln(x) - a, & x > 1 \end{cases}$$

Determina el valor del parámetro $a$ que hace que $f(x)$ sea continua en el punto $x = 1$. (Nota: $\ln$ representa el logaritmo neperiano).

Pregunta 8 (1 punto). Integral indefinida

Calcula la siguiente integral indefinida:

$$\int (-9x^2 + 6x + 1) \, dx$$

Pregunta 9 (1 punto). Extremos absolutos en un intervalo cerrado

Determina los extremos absolutos (tanto el valor máximo como el mínimo) de la función $f(x) = -2x^2 - 8x + 5$ en el intervalo cerrado $[-3, 2]$.

a)

b)

Pregunta 10 (1 punto). Parámetro asociado a la elasticidad de una función

Dada la función $f(x) = 3x^2 - k$, calcula el valor del parámetro $k$ para que su elasticidad en el punto $x = 1$ sea igual a $4$.