Examen de Fundamentos de Matemáticas UOC 2021 · : Prueba de síntesis - Enero 2021

Considerando las siguientes matrices:

$$A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcule la matriz resultante del producto $A \cdot B^t$.

Halle la solución del siguiente sistema lineal de ecuaciones:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 7 \\ \phantom{x - } 2y + 5z = 1 \\ -x + y + z = -3 \end{cases}$$

Sabiendo que $\lambda = 8$ es un valor propio de la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$$

determine un vector propio asociado a dicho valor propio.

Ejercicio 4 [1 punto]. Expresión algebraica de una aplicación lineal

Dada la aplicación lineal $f$ cuya matriz asociada respecto a las bases canónicas es

$$M = \begin{pmatrix} -3 & 4 & 0 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}$$

deduzca la expresión analítica de $f(x, y, z)$.

Ejercicio 5 (1 punto). Cálculo del dominio de una función racional

Indique cuál es el dominio de definición de la función

$$f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$$

El dominio viene dado por $\mathrm{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{x_1, x_2\}$. Indique los valores excluidos del dominio (de menor a mayor, $x_1 < x_2$):

$x_1$:

$x_2$:

Ejercicio 6 [1 punto]. Resolución de una ecuación exponencial

Halle el valor de $x$ que satisface la siguiente igualdad:

$$5^x \cdot 5^{x-3} = 25$$

$x =$

Ejercicio 7 [1 punto]. Continuidad de función a trozos con parámetro

Dada la función definida a trozos

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x - 2}{2x}, & \text{si } x \le 1 \\ -x + m, & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

determine el valor del parámetro real $m$ para que $f(x)$ resulte continua en el punto $x = 1$.

$m =$

Ejercicio 8 (1 punto). Determinación de parámetro a partir de la derivada

Halle el valor de la constante $a$ para el cual la derivada de la función $f(x) = \ln(ax - 2)$ toma el valor 3 en el punto $x = 1$.

Ejercicio 9 (1 punto). Extremo relativo mediante el criterio de la segunda derivada

Para la función $f(x) = \ln(x^2 + 1)$, localice su mínimo relativo.

Indicación: la derivada segunda de la función viene dada por $f''(x) = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2}$.

Ejercicio 10 (1 punto). Análisis de concavidad y convexidad en un punto

Dada la función polinómica $f(x) = 4x^3 - 24x^2 + 37x - 9$, determine razonadamente si es cóncava o convexa en $x = -1$.

(Nota de convenio: se considera convexa si tiene forma $\cup$, es decir $f''(x) > 0$; y cóncava si tiene forma $\cap$, es decir $f''(x) < 0$).

Cóncava

Convexa