Examen de Matrices y Vectores UB 2025 · Final - Gener 2025

Exercici 1 (26 punts). Subespais vectorials a R^4

Considerem els següents subespais vectorials de $\mathbb{R}^4$:

$$F = \langle (1, a, 1, 0), (0, 2, 1, 0), (b, 1, 0, a) \rangle,$$

$$G = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + cy + 2z + t = 0,\; x + dz + t = 0\}.$$

a.

[6 punts] Determineu, en funció dels paràmetres reals $a, b, c, d$, la dimensió de $F$ i la dimensió de $G$.

b.

[10 punts] Trobeu bases per a $F$, $G$, $F + G$ i $F \cap G$ en funció dels paràmetres $a, b, c, d$.

c.

[10 punts] Calculeu les equacions d'un subespai vectorial $H$ que sigui complementari de $F \cap G$ dins de $F$, en funció de $a, b, c, d$.

Exercici 2. Qüestions de cert o fals sobre espais vectorials

Considerem els espais vectorials:$$\mathbb{R}_2[x]:= \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \mid a_0, a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}, \quad M(2,2,\mathbb{R}):= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \;\middle|\; a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}.$$

Determineu raonadament si cadascuna de les afirmacions següents és certa (aportant una demostració) o falsa (proporcionant un contraexemple):

c)

[4 punts] Determineu raonadament si la següent afirmació és certa o falsa:

«El conjunt de tots els polinomis $p(x) \in \mathbb{R}_2[x]$ tals que $p(x) = p(-x)$ és un subespai vectorial de $\mathbb{R}_2[x]$.»

Certa

Falsa

Exercici 2. Qüestions de cert o fals sobre espais vectorials

Considerem els espais vectorials:$$\mathbb{R}_2[x]:= \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \mid a_0, a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}, \quad M(2,2,\mathbb{R}):= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \;\middle|\; a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}.$$

Determineu raonadament si cadascuna de les afirmacions següents és certa (aportant una demostració) o falsa (proporcionant un contraexemple):

Determineu raonadament si cadascuna de les afirmacions següents és certa (aportant una demostració) o falsa (proporcionant un contraexemple):

a)

[4 punts] $\mathbb{R}_2[x]$ té una base formada per polinomis $p(x)$ tals que $p(0) = 0$.

Certa

Falsa

b)

[4 punts] $\mathbb{R}_2[x]$ té una base formada per polinomis $p(x)$ tals que $p(0) = 1$.

Certa

Falsa

d)

[4 punts] Si $A \in M(2,2,\mathbb{R})$, aleshores existeixen cinc nombres $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \in \mathbb{R}$, no tots nuls, tals que: $$a_0 \cdot \mathrm{Id}_2 + a_1 \cdot A + a_2 \cdot A^2 + a_3 \cdot A^3 + a_4 \cdot A^4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Certa

Falsa

e)

[4 punts] Qualsevol base de $M(2,2,\mathbb{R})$ conté com a mínim una matriu invertible.

Certa

Falsa

f)

[4 punts] Un subconjunt de $M(2,2,\mathbb{R})$ format per tres matrius linealment independents no pot contenir cap matriu $A$ tal que $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Certa

Falsa

Per a cada nombre enter $n > 1$, es considera la matriu $A_n \in M(n, n, \mathbb{R})$ definida per:

$$A_n:= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{1}{n-2} & \frac{1}{n-3} & \frac{1}{n-4} & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-2} & \frac{1}{n-3} & \dots & \frac{1}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-2} & \dots & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

a)

[10 punts] Calculeu $\det(A_n)$ en funció de $n$.

Per a cada nombre enter $n > 1$, es considera la matriu $A_n \in M(n, n, \mathbb{R})$ definida per:

$$A_n:= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{1}{n-2} & \frac{1}{n-3} & \frac{1}{n-4} & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-2} & \frac{1}{n-3} & \dots & \frac{1}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-2} & \dots & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

b)

[10 punts] Calculeu la matriu inversa de $A_4$.

Exercici 4. Teoria (30 punts). Suma directa, permutacions i determinants

a)

[10 punts] Siguin $F$ i $G$ dos subespais d'un espai vectorial $E$. Definiu la suma directa de $F$ i $G$. Demostreu que la suma de $F$ i $G$ és directa si i només si donades $B_F$ i $B_G$ bases de $F$ i $G$ respectivament, aleshores $B_F \cup B_G$ és base de $F + G$.

b)

[10 punts] Definiu el conjunt $S_n$ de permutacions de $\{1, 2, \dots, n\}$. Donada $\sigma \in S_n$, definiu $\sigma^{-1}$ i demostreu que $(\sigma \tau)^{-1} = \tau^{-1} \sigma^{-1}$.

c)

[10 punts] Sigui $A$ una matriu quadrada $n \times n$. Definiu $A^T$, la matriu transposada de $A$, i $\det(A)$, el determinant de $A$. Demostreu que $\det(A) = \det(A^T)$.