Ejercicio 3.a · Matrices y Vectores UB 2025

Per a cada nombre enter $n > 1$, es considera la matriu $A_n \in M(n, n, \mathbb{R})$ definida per:

$$A_n:= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{1}{n-2} & \frac{1}{n-3} & \frac{1}{n-4} & \dots & 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-2} & \frac{1}{n-3} & \dots & \frac{1}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-2} & \dots & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

a)

[10 punts] Calculeu $\det(A_n)$ en funció de $n$.