Ejercicio 2 - Dependència lineal i bases · Matrices y Vectores UB 2025

Exercici 2. Qüestions de cert o fals sobre espais vectorials

Considerem els espais vectorials:$$\mathbb{R}_2[x]:= \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \mid a_0, a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}, \quad M(2,2,\mathbb{R}):= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \;\middle|\; a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}.$$

Determineu raonadament si cadascuna de les afirmacions següents és certa (aportant una demostració) o falsa (proporcionant un contraexemple):

Determineu raonadament si cadascuna de les afirmacions següents és certa (aportant una demostració) o falsa (proporcionant un contraexemple):

a)

[4 punts] $\mathbb{R}_2[x]$ té una base formada per polinomis $p(x)$ tals que $p(0) = 0$.

Certa

Falsa

b)

[4 punts] $\mathbb{R}_2[x]$ té una base formada per polinomis $p(x)$ tals que $p(0) = 1$.

Certa

Falsa

d)

[4 punts] Si $A \in M(2,2,\mathbb{R})$, aleshores existeixen cinc nombres $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \in \mathbb{R}$, no tots nuls, tals que: $$a_0 \cdot \mathrm{Id}_2 + a_1 \cdot A + a_2 \cdot A^2 + a_3 \cdot A^3 + a_4 \cdot A^4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Certa

Falsa

e)

[4 punts] Qualsevol base de $M(2,2,\mathbb{R})$ conté com a mínim una matriu invertible.

Certa

Falsa

f)

[4 punts] Un subconjunt de $M(2,2,\mathbb{R})$ format per tres matrius linealment independents no pot contenir cap matriu $A$ tal que $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Certa

Falsa