Problema 1 · Matrices y Vectores UB 2025

a. (6 punts) Determineu, en funció dels paràmetres reals a, b, c, d, la dimensió de F i la dimensió de G.

Solución: Dimensió de $F$: - Si $a = 0$ i $b = -1/2$: $\dim(F) = 2$. - En qualsevol altre cas: $\dim(F) = 3$. Dimensió de $G$: - Si $c = 0$ i $d = 2$: $\dim(G) = 3$. - Si $c \neq 0$ o $d \neq 2$: $\dim(G) = 2$.

b. (10 punts) Trobeu bases per a F, G, F + G i F ∩ G en funció dels paràmetres a, b, c, d.

Solución: Base de $F$: - Si $a = 0$ i $b = -1/2$: $B_F = \{(1, 0, 1, 0), (0, 2, 1, 0)\}$. - Si $(a, b) \neq (0, -1/2)$: $B_F = \{(1, a, 1, 0), (0, 2, 1, 0), (b, 1, 0, a)\}$. Base de $G$: - Si $c = 0$ i $d = 2$: $B_G = \{(-2, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0)\}$. - Si $c \neq 0$: $B_G = \{(-d, \frac{d-2}{c}, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)\}$. - Si $c = 0$ i $d \neq 2$: $B_G = \{(-1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0)\}$. Bases de $F + G$ i $F \cap G$: es determinen substituint els vectors de la base de $F$ a les equacions de $G$ i aplicant Grassmann.

c. (10 punts) Calculeu les equacions d'un subespai vectorial H que sigui complementari de F ∩ G dins de F, en funció de a, b, c, d.

Solución: Per definició, $H$ és un complementari de $F \cap G$ en $F$ si $F = (F \cap G) \oplus H$. Cal ampliar una base de $F \cap G$ a una base de $F$ afegint vectors linealment independents que generin $H$, i expressar després $H$ mitjançant les seves equacions cartesianes relatives a $F$ o a $\mathbb{R}^4$.